Шестизначное число начинается цифрой 1 и кончается цифрой 7. Если эту цифру 7 перенести на первое место, то полученное число в 5 раз больше исходного. Найдите исходное число.

Рассмотрим условие задачи: у нас есть шестизначное число, которое начинается с цифры 1 и заканчивается цифрой 7. Обозначим это число как $N$. Мы знаем, что если цифру 7 перенести на первое место, то получится новое число, которое в 5 раз больше исходного числа. Обозначим исходное число как $N$, а новое число, которое мы получим после перестановки цифры 7, как $M$.

Обозначение числа $N$:

Пусть исходное число $N$ записывается в следующем виде:

где $a, b, c, d$ — неизвестные цифры числа $N$.

После переноса цифры 7 на первое место, новое число $M$ будет выглядеть так:

По условию, число $M$ в 5 раз больше числа $N$, то есть:

Подставим выражения для $N$ и $M$ в это уравнение:

Раскроем скобки и упростим выражение:

Левую часть:

Правую часть:

Теперь приравняем правую и левую части уравнения:

Теперь сравним коэффициенты при одинаковых степенях 10. Это приводит к системе уравнений:

1. $7 \times 10^5 = 5 \times 10^5$ → это уравнение уже выполняется.
2. $1 \times 10^4 = 5a \times 10^4$ → $a = 2$.
3. $a \times 10^3 = 5b \times 10^3$ → $b = 4$