Однородная лестница массой 20 кг прислонена к гладкой вертикальной стене, составляя с ней угол 30°.

Ответы на вопрос

Отвечает Красовская Виктория.

Для решения задачи используем законы статики. Нам известно, что лестница массой 20 кг прислонена к гладкой вертикальной стене и образует угол 30° с этой стеной. Гладкость стены означает, что сила трения на верхнем конце лестницы отсутствует, и стена оказывает только нормальную реакцию, которая будет горизонтальной. Пол шероховатый, значит, на нижний конец лестницы действует как нормальная реакция, так и сила трения, которая предотвращает скольжение.

Шаг 1: Определим силы, действующие на лестницу

Сила тяжести $F_{\text{тяж}}$ направлена вертикально вниз и равна: $F_{\text{тяж}} = mg = 20 \cdot 9.8 = 196 \, \text{Н}$
Сила реакции стены $N_{\text{стена}}$ , которая горизонтальна.
Сила реакции пола $N_{\text{пол}}$ , которая вертикальна.
Сила трения $F_{\text{тр}}$ , действующая горизонтально на нижний конец лестницы и направленная в сторону стены.

Шаг 2: Уравнения равновесия

Поскольку лестница находится в равновесии, выполним условия равновесия по трём направлениям.

1. Условие равновесия по горизонтали:

Сила реакции стены уравновешивается силой трения:

N_{\text{стена}} = F_{\text{тр}}

2. Условие равновесия по вертикали:

Сила реакции пола уравновешивает вес лестницы:

N_{\text{пол}} = F_{\text{тяж}} = 196 \, \text{Н}

3. Условие равновесия моментов:

Выберем точку опоры у основания лестницы для составления уравнения моментов. Момент создают сила тяжести и реакция стены. Плечо силы тяжести — это половина длины лестницы, умноженная на синус угла, а плечо реакции стены — вся длина лестницы, умноженная на косинус угла.

Момент силы тяжести относительно нижнего конца:

M_{\text{тяж}} = F_{\text{тяж}} \cdot \frac{L}{2} \cdot \sin(30^\circ)

Момент реакции стены:

M_{\text{стена}} = N_{\text{стена}} \cdot L \cdot \cos(30^\circ)

Для равновесия моменты должны быть равны:

F_{\text{тяж}} \cdot \frac{L}{2} \cdot \sin(30^\circ) = N_{\text{стена}} \cdot L \cdot \cos(30^\circ)

Сокращаем $L$ и подставляем значения:

196 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0.5 = N_{\text{стена}} \cdot 0.866

49 = N_{\text{стена}} \cdot 0.866

N_{\text{стена}} = \frac{49}{0.866} \approx 56.6 \, \text{Н}

Ответ:

Модуль силы реакции, действующей на верхний конец лестницы (реакция стены), равен примерно 57 Н.