Координаты движущегося по плоскости точечного тела изменяются по законам: х(t) = 2 + 4t, y(t) = 4 - 7t, где х и y измеряются в метрах, а t — в секундах. Изобразите на графике траекторию движения тела и векторы его перемещений за первую, вторую секунду движения и за первые три секунды движения. Определите пройденные телом пути за указанные промежутки времени.

Для того чтобы ответить на этот вопрос, давайте разобьем его на несколько частей:

1. Траектория движения тела

Координаты тела изменяются по следующим формулам:

• $x(t) = 2 + 4t$

• $y(t) = 4 - 7t$

Здесь $t$ — время в секундах, $x$ и $y$ — координаты тела в метрах. Сначала нужно построить траекторию движения тела, то есть график зависимости координат $x$ и $y$ от времени.

2. Векторы перемещения

Векторы перемещения за разные интервалы времени можно найти как разницу между конечной и начальной координатой тела за указанные промежутки времени:

• Перемещение за первую секунду (с $t = 0$ до $t = 1$):

  $$\Delta x_1 = x(1) - x(0) = (2 + 4 \cdot 1) - (2 + 4 \cdot 0) = 6 - 2 = 4 \, м$$ $$\Delta y_1 = y(1) - y(0) = (4 - 7 \cdot 1) - (4 - 7 \cdot 0) = -3 - 4 = -7 \, м$$

  Вектор перемещения за первую секунду будет направлен от точки $(x(0), y(0)) = (2, 4)$ до точки $(x(1), y(1)) = (6, -3)$.

• Перемещение за вторую секунду (с $t = 1$ до $t = 2$):

  $$\Delta x_2 = x(2) - x(1) = (2 + 4 \cdot 2) - (2 + 4 \cdot 1) = 10 - 6 = 4 \, м$$ $$\Delta y_2 = y(2) - y(1) = (4 - 7 \cdot 2) - (4 - 7 \cdot 1) = -10 - (-3) = -7 \, м$$

  Вектор перемещения за вторую секунду будет направлен от точки $(x(1), y(1)) = (6, -3)$ до точки $(x(2), y(2)) = (10, -10)$.

• Перемещение за первые три секунды (с $t = 0$ до $t = 3$):

  $$\Delta x_3 = x(3) - x(0) = (2 + 4 \cdot 3) - (2 + 4 \cdot 0) = 14 - 2 = 12 \, м$$ $$\Delta y_3 = y(3) - y(0) = (4 - 7 \cdot 3) - (4 - 7 \cdot 0) = -17 - 4 = -21 \, м$$

  Вектор перемещения за первые три секунды будет направлен от точки $(x(0), y(0)) = (2, 4)$ до точки $(x(3), y(3)) = (14, -17)$.

3. Пройденный путь

Пройденный путь за определенный промежуток времени — это длина пути, пройденного телом. В данном случае, так как движение прямолинейное, путь можно найти как длину отрезка, соединяющего начальную и конечную точки.

• Путь за первую секунду:

  $$S_1 = \sqrt{(\Delta x_1)^2 + (\Delta y_1)^2} = \sqrt{4^2 + (-7)^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65} \approx 8.06 \, м$$

• Путь за вторую секунду:

  $$S_2 = \sqrt{(\Delta x_2)^2 + (\Delta y_2)^2} = \sqrt{4^2 + (-7)^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65} \approx 8.06 \, м$$