1)В последнюю секунду свободного падения тело прошло пятую часть своего пути. С какой высоты упало тeло? 2) Тело свободно падает с высоты 122,5 м. Определить путь, пройденный телом за последнюю секунду падения. 3) Мяч, брошенный вертикально вверх, находился на высоте 5 м над Землей дважды с промежутком времени в 1 с. С какой начальной скоростью был брошен мяч? 4) Определить, на сколько путь, пройденный свободно падающим телом в n-ую секунду, будет больше пути, пройденного в предыдущую секунду. 5)Тело свободно падает с высоты 270 м. Разделить эту высоту на такие три части, чтобы на прохождение каждой из них потребовалось одно и то же время.

Давайте поочередно решим все эти задачи.

Задача 1:

В последнюю секунду свободного падения тело прошло пятую часть своего пути. С какой высоты упало тело?

1. Пусть высота падения — это $h$, путь, пройденный телом за всё время, — это $S$, а путь, пройденный за последнюю секунду, — это $\frac{h}{5}$.

2. Путь, пройденный телом за время $t$ при свободном падении, описывается формулой:

   $$S = \frac{g t^2}{2}$$

   где $g$ — ускорение свободного падения ($g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$).

3. Путь, пройденный за последнюю секунду, можно выразить как разницу между путями, пройденными за $t$ и $t-1$ секунд:

   $$S_t = \frac{g t^2}{2} - \frac{g (t-1)^2}{2}$$

   Преобразуем выражение:

   $$S_t = \frac{g}{2} \left[ t^2 - (t-1)^2 \right]$$ $$S_t = \frac{g}{2} \left[ t^2 - (t^2 - 2t + 1) \right]$$ $$S_t = \frac{g}{2} (2t - 1)$$

4. Из условия задачи знаем, что $S_t = \frac{h}{5}$, поэтому:

   $$\frac{g}{2} (2t - 1) = \frac{h}{5}$$

   Путь, пройденный за всё время $h$, равен:

   $$h = \frac{g t^2}{2}$$

5. Подставляем выражение для $h$ в уравнение для пути за последнюю секунду:

   $$\frac{g}{2} (2t - 1) = \frac{1}{5} \cdot \frac{g t^2}{2}$$

   Убираем $\frac{g}{2}$ и решаем относительно $t$:

   $$2t - 1 = \frac{t^2}{5}$$

   Умножаем обе стороны на 5:

   $$5(2t - 1) = t^2$$ $$10t - 5 = t^2$$

   Переносим всё в одну сторону:

   $$t^2 - 10t + 5 = 0$$

   Решаем квадратное уравнение по формуле:

   $$t = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(5)}}{2(1)}$$ $$t = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 20}}{2}$$ $$t = \frac{10 \pm \sqrt{80}}{2}$$ $$t = \frac{10 \pm 8.944}{2}$$

   Получаем два возможных значения для $t$:

   $$t \approx 9.472 \quad \text{или} \quad t \approx 0.528$$

   Но время падения не может быть столь малым, следовательно, $t \approx 9.472$.

6. Теперь подставим $t$ в формулу для высоты:

   $$h = \frac{g t^2}{2}$$ $$h = \frac{9.8 \cdot (9.472)^2}{2} \approx 433.5 \, \text{м}$$