На некоторой высоте над поверхностью земли снаряд разорвался на несколько осколков, полетевших во все стороны с одинаковыми скоростями. Осколок, полетевший вертикально вниз, достиг земли за время t₁. Осколок, полетевший вертикально вверх, упал на землю через время t₂. Сколько времени падали осколки, полетевшие горизонтально? Сопротивление воздуха не учитывать.

Пусть разрыв произошёл на высоте $H$ над землёй, ускорение свободного падения $g$, сопротивлением пренебрегаем. Все осколки после разрыва имеют одинаковую по модулю скорость $v$.

Вниз: для осколка, полетевшего вертикально вниз, вертикальная скорость $-v$. Его координата (ось $y$ вверх, уровень разрыва $y=0$, земля $y=-H$):

До земли за $t_1$: -H=-v t_1-\frac{g t_1^2}{2}\Rightarrow H=v t_1+\frac{g t_1^2}{2}. \tag{1}

Вверх: для осколка, полетевшего вертикально вверх, начальная скорость $+v$:

До земли за $t_2$: -H=v t_2-\frac{g t_2^2}{2}\Rightarrow H=\frac{g t_2^2}{2}-v t_2. \tag{2}

Из (1) и (2) выразим $H$ (исключая $v$). Складывать не обязательно — проще приравнять выражения для $v$:

Горизонтально: у осколков, полетевших горизонтально, начальная вертикальная скорость равна нулю, поэтому время падения $T$ из высоты $H$ определяется

Подставляя найденное $H=\frac{g}{2}t_1 t_2$, получаем

Ответ: время падения «горизонтальных» осколков равно $\boxed{\sqrt{t_1 t_2}}$.