Свободно падающее тело прошло за последнюю секунду падения 1/3 своего пути. Найдите время падения и высоту с которой упало тело. Прошу решения с интернета не брать!

Для решения задачи, где свободно падающее тело прошло за последнюю секунду 1/3 всего пути, нам нужно определить два параметра: время падения $t$ и высоту $h$, с которой тело начало падение. Давайте рассмотрим шаг за шагом.

1. Введение обозначений и формул

Свободное падение тела происходит под действием ускорения свободного падения $g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$. При этом будем считать, что тело падало из состояния покоя. Поэтому можем использовать основные формулы кинематики для равномерно ускоренного движения:

1. Высота падения за все время $t$:

   $$h = \frac{1}{2} g t^2$$

2. Высота, пройденная за последние $t - 1$ секунд падения: По той же формуле, для времени $t - 1$, высота $h_{t-1}$ составит:

   $$h_{t-1} = \frac{1}{2} g (t - 1)^2$$

3. Высота, пройденная за последнюю секунду: За последнюю секунду падения тело пройдет высоту $\Delta h$, которая равна разности между полным путем $h$ и высотой $h_{t-1}$:

   $$\Delta h = h - h_{t-1}$$

2. Запись условия задачи

По условию, высота $\Delta h$, пройденная телом за последнюю секунду, составляет $\frac{1}{3}$ от общей высоты $h$. Тогда:

Подставим выражения для $h$ и $\Delta h$ из формул выше:

3. Упрощение уравнения

Теперь можем сократить $\frac{1}{2} g$ с обеих сторон уравнения и раскрыть скобки:

Раскроем скобки:

Приведем подобные:

Умножим уравнение на 3, чтобы избавиться от дробей:

Перенесем все члены в одну сторону:

4. Решение квадратного уравнения

Теперь у нас есть квадратное уравнение:

Решим его по формуле для корней квадратного уравнения:

Поскольку время не может быть отрицательным, выбираем положительный корень:

5. Нахождение высоты $h$

Теперь можем найти высоту $h$ по формуле: