Небольшой камень брошенный с ровной горизонтальной поверхности земли под углом к горизонту, достиг максимальной высоты 5 м и упал обратно на землю в 20 м от места броска. Чему равна минимальная скорость камня за время полёта?

Чтобы ответить на вопрос, разберем движение камня, учитывая физические законы движения тела, брошенного под углом к горизонту. Нам известны две величины: максимальная высота подъема $H = 5 \, \text{м}$ и дальность полета $R = 20 \, \text{м}$. На основании этих данных мы сможем найти минимальную скорость камня за время полета.

1. Определим начальную вертикальную скорость: Поскольку максимальная высота достигается, когда вертикальная составляющая скорости становится равной нулю, мы можем воспользоваться формулой для максимальной высоты:

   $$H = \frac{{v_{0y}^2}}{{2g}}$$

   где $v_{0y}$ — начальная вертикальная составляющая скорости, а $g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$ — ускорение свободного падения. Подставляя значения, получаем:

   $$5 = \frac{{v_{0y}^2}}{{2 \cdot 9.8}}$$

   Отсюда:

   $$v_{0y}^2 = 5 \cdot 19.6 = 98$$ $$v_{0y} = \sqrt{98} \approx 9.9 \, \text{м/с}$$

2. Найдем начальную горизонтальную скорость: Так как дальность полета $R = 20 \, \text{м}$, используем формулу для дальности полета тела, брошенного под углом:

   $$R = v_{0x} \cdot t$$

   где $v_{0x}$ — начальная горизонтальная составляющая скорости, а $t$ — время полета. Поскольку время полета можно выразить через начальную вертикальную скорость как $t = \frac{2v_{0y}}{g}$, подставляем это значение:

   $$20 = v_{0x} \cdot \frac{2 \cdot 9.9}{9.8}$$

   Тогда

   $$v_{0x} = \frac{20 \cdot 9.8}{2 \cdot 9.9} \approx 9.9 \, \text{м/с}$$

3. Определим минимальную скорость камня: Минимальная скорость камня за весь полет будет достигнута на вершине траектории, где вертикальная составляющая скорости равна нулю, а горизонтальная остаётся постоянной. Следовательно, на вершине траектории скорость камня равна его начальной горизонтальной скорости:

   $$v_{\text{min}} = v_{0x} = 9.9 \, \text{м/с}$$

Ответ: минимальная скорость камня за время полета составляет $9.9 \, \text{м/с}$.