Стрела, выпущенная из лука вертикально вверх со скоростью 30 м/с, поражает цель через 2 с. Какую скорость имела стрела в момент достижения цели и на какой высоте находилась цель?

Когда стрела выстреливается вверх со скоростью 30 м/с, она начинает подниматься, замедляя свой подъем из-за силы тяжести, пока не достигнет своей максимальной высоты, а затем начнёт падать вниз. Рассмотрим оба этапа её движения.

1. Время подъема:
   Стрела замедляется с ускорением $g = 9,8 \, м/с^2$ (ускорение свободного падения), пока её скорость не станет равной нулю. Для этого используем уравнение:

   $$v = v_0 - g \cdot t$$

   где:

   • $v_0 = 30 \, м/с$ — начальная скорость,

   • $v = 0 \, м/с$ — конечная скорость на максимальной высоте,

   • $g = 9,8 \, м/с^2$ — ускорение.

   Поставим значения в уравнение и найдём время подъема $t_{\text{подъем}}$:

   $$0 = 30 - 9,8 \cdot t_{\text{подъем}}$$ $$t_{\text{подъем}} = \frac{30}{9,8} \approx 3,06 \, с$$

   Таким образом, время подъема до максимальной высоты составляет примерно 3,06 секунды.

2. Общее время движения:
   Время, которое стрела проведет в воздухе, равно 2 секунды. То есть, если выстрел был сделан вертикально вверх, а стрела через 2 секунды достигла цели, то её падение произошло после того, как она достигла максимальной высоты и начала спускаться. Таким образом, часть времени уже ушла на подъем, и стрела, скорее всего, не достигла максимальной высоты.

3. Высота цели:
   Мы можем вычислить, на какой высоте находится цель, через два времени. Для этого можно воспользоваться кинематическим уравнением для движения с постоянным ускорением, которое выглядит так:

   $$h = v_0 \cdot t - \frac{1}{2} g \cdot t^2$$

   Подставим значения:

   $$h = 30 \cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot 2^2$$ $$h = 60 - \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot 4 = 60 - 19,6 = 40,4 \, м$$

   Таким образом, высота цели составляет 40,4 метра.

4. Скорость стрелы при достижении цели:
   Мы знаем, что через 2 секунды, когда стрела достигает цели, её скорость будет направлена вниз, и её величина будет равна скорости свободного падения, которая рассчитывается по формуле:

   $$v = v_0 - g \cdot t$$ $$v = 30 - 9,8 \cdot 2 = 30 - 19,6 = 10,4 \, м/с$$

   Таким образом, скорость стрелы в момент достижения цели будет 10,4 м/с, направленная вниз.