Двухполюсник, состоящий из последовательно соединённых катушки (индуктивность L = 1 Гн, внутреннее активное сопротивление r = 100 Ом) и конденсатора C, подключён к сети 220 В. При каком значении ёмкости C напряжение на катушке Uк будет максимальным? Вычислите это напряжение, а также соответствующее напряжение Uс на конденсаторе. Постройте векторную диаграмму напряжений на этом двухполюснике.

Будем считать, что сеть стандартная: \( U = 220 \text{ В} \), \( f = 50 \text{ Гц} \). Тогда \( \omega = 2\pi f \approx 314 \text{ рад/с} \).

Сопротивление катушки:

\[ X_L = \omega L = 314 \cdot 1 = 314 \text{ Ом}. \]

Напряжение на катушке максимально при резонансе, когда:

\[ X_C = X_L. \]

Значит,

\[ \frac{1}{\omega C} = \omega L, \quad C = \frac{1}{\omega^2 L}. \]

Подставим числа:

\[ C = \frac{1}{314^2 \cdot 1} \approx 1{,}01 \cdot 10^{-5} \text{ Ф} = 10{,}1 \text{ мкФ}. \]

При резонансе полное сопротивление цепи равно активному сопротивлению катушки:

\[ Z = r = 100 \text{ Ом}. \]

Ток:

\[ I = \frac{U}{r} = \frac{220}{100} = 2{,}2 \text{ А}. \]

Напряжение на конденсаторе:

\[ U_C = I X_C = 2{,}2 \cdot 314 \approx 691 \text{ В}. \]

Напряжение на катушке складывается из активной части \( Ir \) и индуктивной части \( IX_L \):

\[ U_k = I\sqrt{r^2 + X_L^2} = 2{,}2\sqrt{100^2 + 314^2} \approx 725 \text{ В}. \]

Ответ: \( C \approx 10{,}1 \text{ мкФ} \), \( U_k \approx 725 \text{ В} \), \( U_C \approx 691 \text{ В} \).

Векторная диаграмма: ток \( I \) направляют горизонтально. Напряжение \( U_r = Ir = 220 \text{ В} \) направлено вместе с током. Напряжение \( U_L \approx 691 \text{ В} \) направлено вверх, а \( U_C \approx 691 \text{ В} \) — вниз. Они взаимно компенсируются, поэтому напряжение всей цепи равно \( 220 \text{ В} \). Напряжение на катушке \( U_k \) — это диагональ из \( U_r \) и \( U_L \).

0 0 Пожаловаться