Есть некоторый идеальный колебательный контур, состоящий из катушки и конденсатора. Индуктивность катушки равна L.
Есть прибор, который при нажатии на нём кнопки включает таймер на время t и в течении этого времени считает сколько раз напряжение на обкладках конденсатора было равно нулю, после истечении этого времени сам выключается и выдаёт число N, которое посчитал.
Контур уже запущен и после этого эксперементатор жмёт кнопку.
1) Требуется оценить диапазон возможных значений для ёмкости конденсатора.
2) Любопытно, если бы счётчик срабатывал на достижение значения тока
на катушке
по модулю Iа/m , где Ia - амплитудный ток, а m > 1 - некоторое число, то какова бы была оценка?

1. Оценка диапазона возможных значений ёмкости конденсатора

Для решения задачи нужно рассмотреть колебания в идеальном LC-контуре, состоящем из катушки индуктивности с индуктивностью $L$ и конденсатора с ёмкостью $C$.

Основное свойство такого контура — это его резонансная частота $f_0$, которая определяется по формуле:

Эта частота характеризует количество колебаний в секунду, то есть число полных циклов, которые делает колебательный контур за 1 секунду.

Теперь, если таймер работает и считает, сколько раз напряжение на конденсаторе становится равным нулю, то это будет происходить дважды за каждый полный цикл колебания — когда напряжение на обкладках конденсатора меняет знак (переходит через ноль).

Таким образом, количество таких нулевых переходов за время $t$ будет равно $N = 2 f_0 t$, так как каждый полный цикл даёт два таких перехода (через ноль напряжение на конденсаторе). Следовательно, количество этих переходов за время $t$ можно выразить как:

Отсюда можно выразить ёмкость $C$ через $N$, $L$ и $t$:

Таким образом, диапазон возможных значений ёмкости зависит от значения $N$, времени $t$ и индуктивности $L$.

• Если количество $N$ увеличивается, ёмкость $C$ будет уменьшаться.
• Если время $t$ увеличивается, ёмкость $C$ будет возрастать.
• Величина индуктивности $L$ также влияет на ёмкость: чем больше индуктивность, тем больше требуется ёмкости для того, чтобы система колебалась с тем же числом переходов через ноль.

Таким образом, для оценки диапазона ёмкости можно подставить конкретные значения для $t$, $N$ и $L$ в полученную формулу.

2. Оценка для ситуации с током катушки

Если счётчик срабатывает на достижение определённого значения тока на катушке по модулю $I_a/m$, где $I_a$ — амплитудный ток, а $m > 1$ — некоторое число, то подход будет немного другим.

Ток в LC-колебательном контуре изменяется синусоидально и его амплитуда $I_a$ связана с амплитудой напряжения на конденсаторе $V_a$ следующим образом:

Когда ток достигает значения $I_a/m$, это означает, что ток в контуре снизился до определённой доли от амплитудного значения. Считывание такого события будет происходить, когда ток проходит определённую величину, и это количество срабатываний будет зависеть от амплитуды тока, частоты колебаний и отношения $I_a/m$.

Если мы обозначим количество таких срабатываний как $N'$, то оно будет связано с частотой колебаний контуров и отношением амплитуды тока $I_a$ к пороговому значению $I_a/m$. Для колебаний тока, проходящих через такой порог, можно вычислить количество таких событий за время $t$ как:

где $T = \frac{1}{f_0}$ — период колебаний.

Для оценки числа таких срабатываний, нужно знать амплитуду тока $I_a$, порог $m$, а также период колебаний. Точно рассчитать это без дополнительных данных невозможно, но суть заключается в том, что чем меньше $m$ (то есть, чем меньший ток мы выбираем для срабатывания), тем больше будет количество срабатываний $N'$ за время $t$.

Таким образом, с учетом нового порога для тока оценка может быть аналогична первой задаче, но с дополнительным учётом отношения $I_a/m$.