Гигантская пушка выпустила вертикально вверх снаряд, который упал рядом с пушкой только через неделю. Какой высоты h достиг снаряд? Вращение Земли и притяжение других небесных тел не учитывать.

Здесь важно не использовать обычную формулу для равноускоренного движения с постоянным ускорением свободного падения: снаряд поднимается на расстояние, сравнимое с радиусом Земли, поэтому притяжение Земли заметно уменьшается с высотой.

Обозначим радиус Земли через $R$, а максимальную высоту подъёма через $h$. После выстрела снаряд движется по прямой от поверхности Земли до верхней точки, а затем возвращается обратно. Такое движение можно рассматривать как частный случай движения тела по вытянутой эллиптической орбите вокруг Земли.

Большая полуось этой эллиптической орбиты равна среднему расстоянию между ближайшей и дальнейшей точками:

Полное время обращения по такой орбите равно времени от выстрела до падения обратно у пушки, то есть одной неделе:

По третьему закону Кеплера:

где $GM$ — гравитационный параметр Земли:

Отсюда:

Подставляя числа:

Так как

а радиус Земли $R\approx6.37\cdot10^6$ м, получаем:

То есть максимальная высота подъёма снаряда: