На наклонной плоскости находится лёгкая тележка, которая может скатываться с наклонной плоскости без трения. На тележке укреплён кронштейн с шариком массой m = 10 г на невесомой и нерастяжимой нити. До начала скатывания нить удерживалась в направлении, перпендикулярном к наклонной плоскости. Определите ускорение тележки, силу натяжения нити отвеса при свободном скатывании тележки, если угол наклона плоскости к горизонту равен 30°. (Силой трения тележки о плоскость пренебрегаем).

Рассмотрим систему «тележка + шарик». Так как трения нет, внешняя сила вдоль наклонной плоскости — только составляющая силы тяжести шарика (и тележки, если она имеет массу). Нормальная реакция плоскости направлена перпендикулярно плоскости и вдоль движения не действует.

Ускорение системы при скатывании по наклонной плоскости:

где $\alpha =30^{\circ }$.

Тогда

Ускорение тележки:

Теперь найдём силу натяжения нити.

В системе отсчёта, связанной с тележкой, шарик покоится. На него действуют:

• сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз;

• сила инерции $F_i=ma$, направленная противоположно ускорению тележки;

• сила натяжения нити $T$.

Нить устанавливается вдоль равнодействующей силы тяжести и силы инерции, поэтому натяжение равно модулю этой равнодействующей:

или

Подставим значения:

Сила натяжения нити:

Начальное положение нити (перпендикулярно плоскости) определяет только начальное движение шарика. После установившегося свободного скатывания нить отклоняется так, чтобы совпасть с направлением равнодействующей силы тяжести и силы инерции.