Найдите потенциальную энергию математического маятника массой m в положении, соответствующем углу отклонения от вертикали α, если длина маятника l. Считайте потенциальную энергию маятника в положении равновесия равной нулю.

Для нахождения потенциальной энергии математического маятника воспользуемся формулой потенциальной энергии тела в поле силы тяжести:

где:

• $m$ — масса маятника;

• $g$ — ускорение свободного падения;

• $h$ — высота подъёма маятника относительно положения равновесия.

Дано:

• Масса маятника — $m$.

• Длина маятника — $l$.

• Угол отклонения от вертикали — $\alpha$.

• Потенциальная энергия в положении равновесия равна нулю: $E_{p0}=0$.

Решение:

В положении равновесия маятник находится в самой нижней точке своей траектории. При отклонении на угол $\alpha$ груз поднимается на некоторую высоту $h$.

Из геометрических соотношений следует, что вертикальная проекция нити маятника при отклонении составляет:

Следовательно, высота подъёма груза относительно положения равновесия равна:

Вынесем $l$ за скобки:

Теперь подставим полученное выражение в формулу потенциальной энергии:

Получаем:

Ответ:

Таким образом, потенциальная энергия математического маятника зависит от его массы, длины, ускорения свободного падения и угла отклонения от вертикали.

При $\alpha=0^\circ$ маятник находится в положении равновесия, поэтому $E_p=0$. При увеличении угла отклонения потенциальная энергия возрастает.

Дополнительно: при малых углах отклонения (если угол $\alpha$ выражен в радианах) можно использовать приближение:

Тогда потенциальная энергия маятника приближённо равна:

Это приближение часто используется при изучении малых колебаний математического маятника.