Помогите пожалуйста решить.
Частица массой m движется вдоль оси x под действием силы Fx = -KVx, где k – положительная константа.
В момент времени t = 0 ее координата x = 0 и скорость равна V₀x. Найти x(t) – координату x частицы в зависимости от времени t.
Заранее спасибо.

Задача сводится к решению дифференциального уравнения для координаты частицы $x(t)$, учитывая, что на нее действует сила, пропорциональная скорости $F_x = -KV_x$. Давайте пошагово разберемся, как это решить.

1. Запишем второй закон Ньютона:

   Согласно второму закону Ньютона, сила $F_x$ равна массе частицы, умноженной на её ускорение $a_x = \frac{dV_x}{dt}$. То есть:

   $$m \frac{dV_x}{dt} = -K V_x$$

   Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка для скорости $V_x(t)$.

2. Решим уравнение для скорости $V_x(t)$:

   Разделим переменные и интегрируем:

   $$\frac{dV_x}{V_x} = -\frac{K}{m} dt$$

   Интегрируем обе части:

   $$\ln|V_x| = -\frac{K}{m}t + C_1$$

   где $C_1$ — константа интегрирования. Мы можем выразить это как:

   $$V_x(t) = C_2 e^{-\frac{K}{m} t}$$

   где $C_2 = e^{C_1}$ — новая константа.

3. Найдем $C_2$ с использованием начальных условий:

   В момент времени $t = 0$ скорость частицы равна $V_x(0) = V_0$. Подставим это в выражение для $V_x(t)$:

   $$V_0 = C_2 e^{0} = C_2$$

   Таким образом, $C_2 = V_0$, и скорость частицы будет:

   $$V_x(t) = V_0 e^{-\frac{K}{m} t}$$

4. Теперь найдем координату $x(t)$:

   Мы знаем, что скорость — это производная от координаты по времени, то есть:

   $$V_x(t) = \frac{dx}{dt}$$

   Подставим выражение для $V_x(t)$:

   $$\frac{dx}{dt} = V_0 e^{-\frac{K}{m} t}$$

   Интегрируем это уравнение по времени:

   $$x(t) = \int V_0 e^{-\frac{K}{m} t} dt$$

   Это интеграл от экспоненциальной функции:

   $$x(t) = -\frac{mV_0}{K} e^{-\frac{K}{m} t} + C_3$$

   где $C_3$ — константа интегрирования.

5. Найдем $C_3$ с использованием начальных условий:

   В момент времени $t = 0$ координата частицы равна $x(0) = 0$. Подставим это в выражение для $x(t)$:

   $$0 = -\frac{mV_0}{K} e^{0} + C_3$$