Однородный диск радиусом R подвешен за край. Чему равна частота его малых колебаний?

Частота малых колебаний однородного диска, подвешенного за край, можно найти с помощью анализа его динамики. Это задача из механики, которая требует использования принципа моментов инерции и вычисления угловой частоты.

Шаги решения:

1. Определение момента инерции:

   Для диска радиусом $R$ и массой $m$, который вращается вокруг оси, проходящей через край, момент инерции $I$ рассчитывается по формуле для момента инерции относительно произвольной оси, параллельной центральной оси диска:

   $$I = I_{\text{ц}} + mR^2$$

   где $I_{\text{ц}}$ — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс диска, а $mR^2$ — момент инерции относительно внешней оси, смещённой на расстояние $R$. Для однородного диска момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, равен:

   $$I_{\text{ц}} = \frac{1}{2} mR^2$$

   Таким образом, полный момент инерции будет:

   $$I = \frac{1}{2} mR^2 + mR^2 = \frac{3}{2} mR^2$$

2. Уравнение для углового ускорения:

   Для малых колебаний система ведет себя как математический маятник, и её угловое ускорение $\alpha$ пропорционально угловому отклонению $\theta$:

   $$\alpha = -\frac{g}{R} \theta$$

   где $g$ — ускорение свободного падения.

   Это уравнение аналогично уравнению гармонических колебаний, где угловое ускорение пропорционально угловому отклонению с коэффициентом жесткости.

3. Использование второго закона Ньютона для вращения:

   Второй закон для вращательного движения (для момента сил) записывается как:

   $$I \cdot \alpha = -mgR \cdot \theta$$

   Подставляем выражение для $I$:

   $$\frac{3}{2} mR^2 \cdot \alpha = -mgR \cdot \theta$$

   Учитывая, что $\alpha = \frac{d^2\theta}{dt^2}$, получаем:

   $$\frac{3}{2} mR^2 \cdot \frac{d^2 \theta}{dt^2} = -mgR \cdot \theta$$

   Упростим выражение:

   $$\frac{3}{2} R \cdot \frac{d^2 \theta}{dt^2} = -g \cdot \theta$$

   или

   $$\frac{d^2 \theta}{dt^2} = -\frac{2g}{3R} \theta$$

   Это уравнение описывает гармоническое колебание с угловой частотой $\omega^2 = \frac{2g}{3R}$.

4. Частота колебаний:

   Угловая частота $\omega$ равна:

   $$\omega = \sqrt{\frac{2g}{3R}}$$

   Частота $f$ (в циклах в секунду) будет:

   $$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2g}{3R}}$$

Ответ:

Частота малых колебаний однородного диска, подвешенного за край, равна: