В известном аттракционе “автомобиль на вертикальной стене” автомобиль движется по внутренней поверхности цилиндра в горизонтальной плоскости. Каков должен быть коэффициент трения между шинами и поверхностью цилиндра R = 5 м, чтобы автомобиль не сползал вниз при скорости v = 72 км/ч?

Для решения задачи, нам нужно определить коэффициент трения между шинами автомобиля и поверхностью цилиндра, при котором автомобиль не будет сползать вниз по вертикальной стене. Рассмотрим следующие моменты:

1. Условия задачи:

   • Радиус цилиндра $R = 5 \, \text{м}$,
   • Скорость автомобиля $v = 72 \, \text{км/ч} = 20 \, \text{м/с}$ (перевели в метры в секунду),
   • Аттракцион устроен так, что автомобиль движется по внутренней поверхности цилиндра в горизонтальной плоскости, но действует сила тяжести, которая может заставить автомобиль сползать вниз.

2. Основные силы, действующие на автомобиль:

   • Сила тяжести $mg$, направлена вниз, где $m$ — масса автомобиля, а $g = 9.8 \, \text{м/с}^2$ — ускорение свободного падения.
   • Нормальная сила $N$, которая направлена от поверхности цилиндра, перпендикулярно к поверхности (направлена вверх относительно центростремительного движения автомобиля).
   • Сила трения $F_{\text{тр}} = \mu N$, где $\mu$ — коэффициент трения, который нам нужно найти.

3. Центростремительное ускорение: Поскольку автомобиль движется по круговой траектории с радиусом $R$, на него действует центростремительное ускорение. Это ускорение связано с его скоростью и радиусом траектории:

   $$a_{\text{цс}} = \frac{v^2}{R}$$

   Подставляем числовые значения:

   $$a_{\text{цс}} = \frac{(20)^2}{5} = 80 \, \text{м/с}^2$$

4. Нормальная сила: Нормальная сила $N$ зависит от центростремительного ускорения и массы автомобиля. Она определяется по формуле:

   $$N = \frac{mv^2}{R}$$

   Однако массу $m$ можно не учитывать, так как в дальнейшем она будет сокращена, так как трение должно уравновесить силу тяжести.

5. Сила трения и сила тяжести: Чтобы автомобиль не сползал вниз, сила трения должна уравновесить компоненту силы тяжести, которая направлена вдоль поверхности цилиндра. Сила тяжести имеет компоненту, направленную вдоль вертикальной оси, которая равна $mg$, и она должна быть сбалансирована силой трения.

   Таким образом, сила трения должна быть не меньше силы, которая заставляет автомобиль сползать вниз. Но при этом она также зависит от нормальной силы, которая обусловлена центростремительным ускорением:

   $$F_{\text{тр}} = \mu N = \mu \frac{mv^2}{R}$$

   Сила тяжести, которая действует на автомобиль и вызывает его сползание, равна:

   $$F_{\text{грав}} = mg$$

   Чтобы автомобиль не сползал вниз, сила трения должна быть не меньше силы тяжести:

   $$\mu \frac{mv^2}{R} \geq mg$$

   Сокращаем $m$ с обеих сторон:

   $$\mu \frac{v^2}{R} \geq g$$

   Подставляем известные значения:

   $$\mu \frac{(20)^2}{5} \geq 9.8$$ $$\mu \cdot 80 \geq 9.8$$ $$\mu \geq \frac{9.8}{80} \approx 0.1225$$

6. Ответ: Таким образом, чтобы автомобиль не сползал вниз по стене цилиндра, коэффициент трения между шинами и поверхностью цилиндра должен быть не меньше 0.1225.