Кошка бежит за мышкой по окружности радиусом R = 5 м с постоянной скоростью Vк = 40 км/ч . Когда расстояние по дуге между ними было равно
1/8 длины окружности, мышка начала убегать со скоростью Vм = 50 км/ч. Через какое
время t мышка удалится от кошки на расстояние, равное половине длины окружности?

Давайте решим задачу шаг за шагом, используя физические и математические принципы.

Исходные данные:

• Радиус окружности $R = 5 \, \text{м}$.
• Скорость кошки $V_k = 40 \, \text{км/ч} = \frac{40 \times 1000}{3600} = \frac{40000}{3600} \approx 11.11 \, \text{м/с}$.
• Скорость мышки $V_m = 50 \, \text{км/ч} = \frac{50 \times 1000}{3600} = \frac{50000}{3600} \approx 13.89 \, \text{м/с}$.
• Кошка начинает двигаться, когда расстояние по дуге между ней и мышкой составляет $\frac{1}{8}$ длины окружности.

Шаг 1: Длина окружности

Длина окружности рассчитывается по формуле:

Итак, длина окружности $L \approx 31.42 \, \text{м}$.

Шаг 2: Расстояние между кошкой и мышкой в начальный момент времени

Мышка начинает убегать, когда кошка и мышка находятся на расстоянии по дуге $\frac{1}{8}$ длины окружности:

Итак, начальное расстояние между кошкой и мышкой — примерно 3.93 м.

Шаг 3: Определим, что требуется найти

Нам нужно узнать, через какое время $t$ мышка удалится от кошки на половину длины окружности, то есть на расстояние $\frac{1}{2} \times L = 15.71 \, \text{м}$.

Шаг 4: Учет относительных скоростей

Поскольку кошка и мышка бегают по окружности, их движение происходит по дуге. Если бы кошка и мышка двигались по прямой, мы могли бы просто использовать разницу в их скоростях, чтобы найти время. Однако из-за круговой траектории их движение относительно друг друга более сложное.

На окружности важно учитывать относительную скорость между кошкой и мышкой по дуге. Разница в скоростях (по касательной к окружности) между кошкой и мышкой:

Шаг 5: Время, за которое расстояние между ними станет равным половине окружности

Поскольку расстояние между ними увеличивается на $2.78 \, \text{м/с}$, а начальное расстояние между кошкой и мышкой равно 3.93 м, чтобы расстояние стало половиной длины окружности, т.е. 15.71 м, нужно, чтобы разница в их позициях на дуге увеличилась на:

Теперь время, через которое это произойдёт, можно найти, используя скорость относительно друг друга:

Ответ:

Мышка удалится от кошки на расстояние, равное половине длины окружности, через примерно 4.24 секунды.