. Частица совершает гармонические колебания по закону x = 10 cos П/24 t см. Определите координату

Ответы на вопрос

Отвечает Бичукова Дарья.

Давайте решим задачу пошагово.

У нас есть закон колебаний частицы:

x(t) = 10 \cos\left(\frac{\pi}{24} t\right)

где $x(t)$ — это координата частицы в сантиметрах, $t$ — время в секундах.

Нужно найти координату, скорость и ускорение частицы в момент времени $t = 8$ секунд.

Координата частицы $x(t)$ дана функцией от времени:

x(8) = 10 \cos\left(\frac{\pi}{24} \cdot 8\right)

Вычитаем выражение внутри косинуса:

\frac{\pi}{24} \cdot 8 = \frac{8\pi}{24} = \frac{\pi}{3}

Теперь подставляем в выражение для координаты:

x(8) = 10 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)

Знаем, что $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ , следовательно:

x(8) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \, \text{см}

Итак, координата частицы в момент времени $t = 8$ секунд равна $x = 5$ см.

Скорость частицы $v(t)$ — это производная от координаты по времени. Найдем производную функции $x(t)$ :

x(t) = 10 \cos\left(\frac{\pi}{24} t\right)

Производная от косинуса:

v(t) = \frac{d}{dt} \left( 10 \cos\left(\frac{\pi}{24} t\right) \right)

Используем цепное правило для производной:

v(t) = -10 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{24} t\right) \cdot \frac{\pi}{24}

Подставляем $t = 8$ секунд:

v(8) = -10 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \frac{\pi}{24}

Знаем, что $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , подставляем:

v(8) = -10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\pi}{24}

Упростим:

v(8) = -\frac{10\pi\sqrt{3}}{48} = -\frac{5\pi\sqrt{3}}{24}

Теперь найдём модуль скорости:

|v(8)| = \frac{5\pi\sqrt{3}}{24} \approx 1.85 \, \text{см/с}

Ускорение $a(t)$ — это производная от скорости по времени, или вторая производная от координаты:

a(t) = \frac{d}{dt} \left( -10 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{24} t\right) \cdot \frac{\pi}{24} \right)

Производная от синуса:

a(t) = -10 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{24} t\right) \cdot \left(\frac{\pi}{24}\right)^2

. Частица совершает гармонические колебания по закону x = 10 cos П/24 t см. Определите координату частицы, модуль ее скорости и ускорения в момент времени t = 8 с.