Частица совершает гармонические колебания по закону x=4*cosπ/10t Определите координату частицы, модуль ее скорости и ускорения в момент времени t = 5 с. С решением пожалуйста

Чтобы решить задачу о гармонических колебаниях, заданных уравнением $x = 4 \cos\left(\frac{\pi}{10} t\right)$, давайте разберёмся, как находить координату частицы, её скорость и ускорение.

1. Координата частицы в момент времени $t = 5$ с:

   Подставим $t = 5$ в уравнение:

   $$x(5) = 4 \cos\left(\frac{\pi}{10} \cdot 5\right)$$

   Сначала вычислим аргумент косинуса:

   $$\frac{\pi}{10} \cdot 5 = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2}$$

   Теперь подставим это значение в уравнение:

   $$x(5) = 4 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4 \cdot 0 = 0$$

   Таким образом, координата частицы в момент времени $t = 5$ с равна $x = 0$.

2. Определение скорости частицы:

   Скорость $v$ частицы находится как производная координаты по времени:

   $$v(t) = \frac{dx}{dt}$$

   Найдём производную от $x(t) = 4 \cos\left(\frac{\pi}{10} t\right)$:

   $$v(t) = 4 \cdot \left(-\sin\left(\frac{\pi}{10} t\right)\right) \cdot \frac{\pi}{10} = -\frac{4\pi}{10} \sin\left(\frac{\pi}{10} t\right) = -\frac{2\pi}{5} \sin\left(\frac{\pi}{10} t\right)$$

   Теперь подставим $t = 5$:

   $$v(5) = -\frac{2\pi}{5} \sin\left(\frac{\pi}{10} \cdot 5\right) = -\frac{2\pi}{5} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{2\pi}{5} \cdot 1 = -\frac{2\pi}{5}$$

   Таким образом, модуль скорости:

   $$|v(5)| = \frac{2\pi}{5}$$

3. Определение ускорения частицы:

   Ускорение $a$ частицы находится как производная скорости по времени:

   $$a(t) = \frac{dv}{dt}$$

   Найдём производную от $v(t)$:

   $$a(t) = -\frac{2\pi}{5} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{10} t\right) \cdot \frac{\pi}{10} = -\frac{2\pi^2}{50} \cos\left(\frac{\pi}{10} t\right) = -\frac{\pi^2}{25} \cos\left(\frac{\pi}{10} t\right)$$

   Теперь подставим $t = 5$:

   $$a(5) = -\frac{\pi^2}{25} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi^2}{25} \cdot 0 = 0$$

4. Итоговые значения:

   • Координата $x(5) = 0$
   • Модуль скорости $|v(5)| = \frac{2\pi}{5}$