Частица совершает гармонические колебания по закону x = 20 cos П/6 t см. Определите координату частицы, модуль ее скорости и ускорения в момент времени t = 2 с

Давайте разберем данное уравнение гармонических колебаний и найдем координату, скорость и ускорение частицы в момент времени $t = 2$ секунды.

1. Координата частицы: У нас есть закон колебаний:

   $$x(t) = 20 \cos\left(\frac{\pi}{6} t\right)$$

   Подставим $t = 2$ секунды:

   $$x(2) = 20 \cos\left(\frac{\pi}{6} \cdot 2\right) = 20 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$$

   Известно, что $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$:

   $$x(2) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10 \text{ см}$$

   Таким образом, координата частицы в момент времени $t = 2$ с составляет 10 см.

2. Скорость частицы: Скорость $v(t)$ можно найти, взяв производную от координаты по времени:

   $$v(t) = \frac{dx}{dt} = -20 \cdot \frac{\pi}{6} \sin\left(\frac{\pi}{6} t\right) = -\frac{10\pi}{3} \sin\left(\frac{\pi}{6} t\right)$$

   Подставим $t = 2$:

   $$v(2) = -\frac{10\pi}{3} \sin\left(\frac{\pi}{6} \cdot 2\right) = -\frac{10\pi}{3} \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$$

   Зная, что $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

   $$v(2) = -\frac{10\pi}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{5\pi\sqrt{3}}{3} \text{ см/с}$$

   Модуль скорости:

   $$|v(2)| = \frac{5\pi\sqrt{3}}{3} \text{ см/с}$$

3. Ускорение частицы: Ускорение $a(t)$ также можно найти, взяв производную скорости:

   $$a(t) = \frac{dv}{dt} = -\frac{10\pi}{3} \cdot \frac{\pi}{6} \cos\left(\frac{\pi}{6} t\right) = -\frac{10\pi^2}{18} \cos\left(\frac{\pi}{6} t\right) = -\frac{5\pi^2}{9} \cos\left(\frac{\pi}{6} t\right)$$

   Подставим $t = 2$:

   $$a(2) = -\frac{5\pi^2}{9} \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{5\pi^2}{9} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{5\pi^2}{18} \text{ см/с}^2$$