Для шарика массой 1 г установившаяся скорость равномерного движения в воздухе (при падении с большой высоты) равна 100 м/с. Чему равна масса (в г) шарика из такого же материала, установившаяся скорость падения которого 200 м/с? Сила сопротивления пропорциональна площади поперечного сечения шарика и квадрату его скорости.

Давайте решим задачу.

1. Дано:

   • Масса первого шарика $m_1 = 1 \, \text{г}$.
   • Установившаяся скорость первого шарика $v_1 = 100 \, \text{м/с}$.
   • Установившаяся скорость второго шарика $v_2 = 200 \, \text{м/с}$.
   • Сила сопротивления пропорциональна площади поперечного сечения шарика и квадрату его скорости: $$F_{\text{сопр}} \propto S v^2,$$ где $S$ — площадь поперечного сечения, пропорциональная квадрату радиуса шарика.

2. Анализ: Установившаяся скорость достигается, когда сила сопротивления уравновешивает силу тяжести:

   $$F_{\text{тяж}} = F_{\text{сопр}}.$$

   Тогда

   $$m g = k S v^2,$$

   где $k$ — коэффициент пропорциональности. Площадь $S$ для шарика радиуса $r$ пропорциональна $r^2$, а радиус $r$ связан с массой $m$ через объём шарика $V$ и плотность $\rho$ материала:

   $$m = \rho V = \rho \frac{4}{3} \pi r^3 \quad \Rightarrow \quad r \propto m^{1/3}.$$

   Подставим $r \propto m^{1/3}$ в $S \propto r^2$:

   $$S \propto (m^{1/3})^2 \propto m^{2/3}.$$

3. Сравнение шариков: Для двух шариков (индексы 1 и 2):

   $$m_1 g = k S_1 v_1^2, \quad m_2 g = k S_2 v_2^2.$$

   Делим одно уравнение на другое:

   $$\frac{m_2}{m_1} = \frac{S_2 v_2^2}{S_1 v_1^2}.$$

   Так как $S \propto m^{2/3}$, то $S_2 / S_1 = (m_2 / m_1)^{2/3}$. Подставляем это:

   $$\frac{m_2}{m_1} = \left( \frac{m_2}{m_1} \right)^{2/3} \frac{v_2^2}{v_1^2}.$$

4. Решение уравнения: Обозначим $x = \frac{m_2}{m_1}$. Тогда:

   $$x = x^{2/3} \frac{v_2^2}{v_1^2}.$$

   Подставляем $\frac{v_2}{v_1} = \frac{200}{100} = 2$:

   $$x = x^{2/3} \cdot 2^2 = x^{2/3} \cdot 4.$$

   Делим обе части на $x^{2/3}$ (для $x > 0$