В сосуде объёмом V с жёсткими стенками находится одноатомный газ при атмосферном давлении. В крышке

Ответы на вопрос

Отвечает Харечко Мар'ян.

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа и основными термодинамическими соотношениями.

Дано:

Площадь отверстия: $S = 2 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^2$ ,
Сила трения пробки: $F_{\text{тр}} = 100 \, \text{Н}$ ,
Количество теплоты, необходимое для выбивания пробки: $Q = 15 \, \text{кДж} = 15000 \, \text{Дж}$ ,
Газ одноатомный ( $C_V = \frac{3}{2} R$ ).

Уравнение движения пробки

Пробка удерживается за счет силы трения. Давление газа $P$ должно возрасти так, чтобы сила давления на пробку $F_P$ превысила $F_{\text{тр}}$ :

F_P = P \cdot S.

Для срыва пробки:

P \cdot S = F_{\text{тр}} \quad \Rightarrow \quad P = \frac{F_{\text{тр}}}{S}.

Подставим значения:

P = \frac{100}{2 \cdot 10^{-4}} = 5 \cdot 10^5 \, \text{Па}.

Таким образом, давление газа должно увеличиться до $5 \cdot 10^5 \, \text{Па}$ .

Давление до нагрева

Первоначальное давление газа равно атмосферному:

P_0 = 1 \cdot 10^5 \, \text{Па}.

После нагрева давление возрастет до $P = 5 \cdot 10^5 \, \text{Па}$ .

Изменение давления через закон Менделеева-Клапейрона

Используем уравнение состояния идеального газа:

P V = nRT,

где $n$ — количество молей газа, $R = 8{,}31 \, \text{Дж/(моль·К)}$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — температура.

При нагреве газа его давление изменяется от $P_0$ до $P$ , а температура возрастает с $T_0$ до $T$ . Работа в данной задаче не совершается (жесткие стенки), поэтому вся переданная теплота идет на увеличение внутренней энергии газа.

Увеличение внутренней энергии

Количество теплоты связано с изменением внутренней энергии для одноатомного газа:

Q = \Delta U = \frac{3}{2} n R \Delta T,

где $\Delta T = T - T_0$ .

Через давление и объем изменение температуры выразим как:

\Delta T = \frac{\Delta P \cdot V}{nR},

где $\Delta P = P - P_0$ . Подставляя это в уравнение теплоты:

Q = \frac{3}{2} \cdot \frac{\Delta P \cdot V}{R}.

Перепишем для объема $V$ :

V = \frac{2 Q R}{3 \Delta P}.

Подставляем значения

$Q = 15000 \, \text{Дж}$ ,
$R = 8{,}31 \, \text{Дж/(моль·К)}$ ,
$\Delta P = P - P_0 = 5 \cdot 10^5 - 1 \cdot 10^5 = 4 \cdot 10^5 \, \text{Па}$ .

V = \frac{2 \cdot 15000 \cdot 8{,}31}{3 \cdot 4 \cdot 10^5}.

Считаем:

V = \frac{249300}{1{,}2 \cdot 10^6} = 0{,}208 \, \text{м}^3.

Ответ:

Объем сосуда $V = 0{,}208 \, \text{м}^3$ .