С вершины наклонной плоскости, имеющей длину 10м и высоту 5м, начинает двигаться без начальной скорости тело. Какое время будет продолжаться движение тела до основания наклонной плоскости, и какую скорость оно будет иметь в конце спуска? Коэффициент трения между телом и плоскостью 0,2.

Для решения этой задачи, давайте разобьем её на несколько этапов. Нам нужно найти время, за которое тело достигнет основания наклонной плоскости, а также его скорость в момент достижения основания.

1. Найдем угловой наклон плоскости

Плоскость имеет длину 10 м и высоту 5 м. Угол наклона $\alpha$ можно найти через отношение высоты к длине плоскости. Мы используем теорему Пифагора для нахождения длины гипотенузы (наклонной плоскости):

Теперь угол наклона $\alpha$ можно вычислить через тангенс угла:

Следовательно, угол наклона $\alpha$ будет:

2. Силы, действующие на тело

На тело, движущееся по наклонной плоскости, действуют несколько сил:

1. Сила тяжести $mg$, где $m$ — масса тела, $g = 9,8 \, \text{м/с}^2$ — ускорение свободного падения.
2. Сила нормали $N$, перпендикулярная поверхности плоскости.
3. Сила трения $F_{\text{тр}} = \mu N$, где $\mu = 0,2$ — коэффициент трения.
4. Сила тяжести, разложенная на компоненты:
   • Сила, вызывающая движение тела вниз по наклонной плоскости: $mg \sin \alpha$.
   • Сила, действующая перпендикулярно плоскости: $mg \cos \alpha$.

Сила трения будет направлена вверх по плоскости, и её величина равна:

3. Запишем уравнение движения

Составим уравнение для ускорения тела вдоль плоскости. Сила, направленная вниз по наклонной плоскости, — это $mg \sin \alpha$, а сила трения — $\mu mg \cos \alpha$. Таким образом, сумма всех сил, действующих на тело вдоль плоскости, будет равна:

По второму закону Ньютона:

где $a$ — ускорение тела. Подставляем выражение для силы:

Сокращаем на массу $m$:

Подставляем числовые значения:

4. Время движения

Теперь, зная ускорение тела, можем найти время, которое тело будет двигаться до основания плоскости. Используем кинематическое уравнение:

где $s = 10 \, \text{м}$ — длина наклонной плоскости. Подставляем известные значения:

Решаем относительно $t$:

5. Конечная скорость

Для того чтобы найти конечную скорость, используем следующее кинематическое уравнение:

где $v_0 = 0$ — начальная скорость, $a = 2,43 \, \text{м/с}^2$, а $s = 10 \, \text{м}$. Подставляем: