Тело свободно падает без начальной скорости с высоты «Н». На какой высоте его кинетическая энергия будет вдвое больше потенциальной? Сопротивление воздуха не учитывать.

Чтобы решить этот вопрос, нужно понимать, как связано изменение потенциальной и кинетической энергии при свободном падении.

1. Потенциальная энергия на высоте $h$ равна:

   $$E_{\text{пот}} = mgh,$$

   где:

   • $m$ — масса тела,
   • $g$ — ускорение свободного падения (приблизительно 9,8 м/с²),
   • $h$ — высота.

2. Кинетическая энергия при падении с высоты $h$ определяется как:

   $$E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m v^2,$$

   где $v$ — скорость тела на высоте $h$.

При свободном падении скорость тела можно выразить через высоту, используя закон сохранения механической энергии. Общая механическая энергия (сумма потенциальной и кинетической энергии) сохраняется и на любой высоте будет равна начальной потенциальной энергии, то есть:

где $h_0$ — начальная высота (в данном случае $h_0 = Н$).

Упростим выражение, разделив на $m$:

Теперь выразим скорость $v$ через высоту:

Тогда кинетическая энергия будет:

Теперь задача — найти такую высоту $h$, на которой кинетическая энергия будет в два раза больше потенциальной. То есть нужно решить уравнение:

Сократим на $m g$ (предполагаем, что $m$ и $g$ постоянны):

Преобразуем это уравнение:

Таким образом, высота, на которой кинетическая энергия будет в два раза больше потенциальной, будет составлять $h = \frac{h_0}{3}$. То есть тело должно находиться на высоте $\frac{Н}{3}$ от земли.

Ответ: на высоте $\frac{Н}{3}$ кинетическая энергия будет в два раза больше потенциальной.