С горы высотой 100м падает камень. На какой высоте его кинетическая энергия станет равна его потенциальной энергии?

Когда камень падает с высоты, его потенциальная энергия преобразуется в кинетическую. Потенциальная энергия определяется по формуле:

$E_p = mgh$

где:

• $E_p$ — потенциальная энергия,
• $m$ — масса камня,
• $g$ — ускорение свободного падения (приблизительно 9.8 м/с²),
• $h$ — высота, на которой находится камень.

Кинетическая энергия определяется по формуле:

$E_k = \frac{1}{2}mv^2$

где:

• $E_k$ — кинетическая энергия,
• $m$ — масса,
• $v$ — скорость камня.

Когда камень только начинает падать, его потенциальная энергия максимальна, а кинетическая равна нулю. По мере падения потенциальная энергия преобразуется в кинетическую.

Вопрос состоит в том, на какой высоте кинетическая энергия станет равной потенциальной. Рассмотрим это с точки зрения закона сохранения механической энергии: сумма потенциальной и кинетической энергии остаётся постоянной, если на камень не действуют внешние силы (например, сопротивление воздуха пренебрегаем).

Когда камень падает с высоты 100 м, потенциальная энергия на начальном уровне равна:

$E_p = mgh = m \cdot 9.8 \cdot 100 = 980m \, \text{Дж}.$

Когда кинетическая энергия станет равной потенциальной, то:

$E_k = E_p = 980m / 2.$

Для этого можно записать, что кинетическая энергия в момент, когда она становится равной потенциальной, составит:

$E_k = \frac{1}{2}mv^2$

Из закона сохранения энергии знаем, что:

$E_p = E_k \Rightarrow mgh = \frac{1}{2}mv^2.$

После сокращения на $m$ получаем:

$gh = \frac{1}{2}v^2.$

На высоте $h$, когда $E_k = E_p$, часть потенциальной энергии уже преобразована в кинетическую. Таким образом, потенциальная энергия на высоте $h$ будет равна:

$E_p = mgh.$

Также, по закону сохранения энергии, на высоте $h$ будет оставаться половина первоначальной потенциальной энергии. То есть:

$mgh = \frac{1}{2} \cdot 980m.$

Таким образом, на высоте, когда кинетическая энергия равна потенциальной, нужно решить для $h$:

$gh = 490.$

Подставляем $g = 9.8$:

$9.8h = 490$

$h = \frac{490}{9.8} = 50 \, \text{м}.$

Ответ: когда камень находится на высоте 50 м, его кинетическая энергия станет равной потенциальной.