На Земле пружина под действием груза растянулась на 18 см. Определите, на сколько она растянется под весом того же груза на высоте, равной половине радиуса Земли над её поверхностью.

Для решения этой задачи воспользуемся законом Гука и законом всемирного тяготения.

Дано:

• Удлинение пружины на поверхности Земли: $x_1 = 18$ см = 0.18 м
• Высота над поверхностью Земли: $h = \frac{R}{2}$, где $R$ — радиус Земли
• Нужно найти удлинение пружины на этой высоте $x_2$

Шаг 1: Закон Гука

На поверхности Земли удлинение пружины определяется законом Гука:

где:

• $k$ — жёсткость пружины,
• $m$ — масса груза,
• $g$ — ускорение свободного падения на поверхности Земли.

На высоте $h = \frac{R}{2}$ ускорение свободного падения изменяется, так как оно определяется законом всемирного тяготения:

Подставляем $h = \frac{R}{2}$:

Таким образом, ускорение свободного падения на высоте $h$ уменьшается до:

Шаг 2: Новое удлинение пружины

На высоте $h$ действует тот же груз, но с меньшей силой тяжести:

Подставляем $g' = \frac{4}{9} g$:

Разделим второе уравнение на первое:

Подставляем $x_1 = 0.18$ м:

Ответ:

На высоте, равной половине радиуса Земли, пружина растянется на 8 см.