Докажите тождество; (2y+1/y^2+6y+9-y-2/y^2+3y):y^2+6/y^3-9y=y-3/y+3

Для доказательства данного тождества выполним последовательные шаги упрощения каждой части выражения.

Дано тождество:

$\frac{2y + 1}{y^2 + 6y + 9} - \frac{y - 2}{y^2 + 3y} : \frac{y^2 + 6}{y^3 - 9y} = \frac{y - 3}{y + 3}$

1. Упрощение знаменателей:

   • Знаменатель первой дроби, $y^2 + 6y + 9$, является полным квадратом и равен $(y + 3)^2$.
   • Второй знаменатель, $y^2 + 3y$, можно представить как $y(y + 3)$.
   • Третий знаменатель, $y^3 - 9y$, представляет собой разность кубов, которую можно разложить на множители: $y(y^2 - 9) = y(y + 3)(y - 3)$.

2. Преобразование выражения:

   • Перепишем выражение с учетом упрощений знаменателей:

     $\frac{2y + 1}{(y + 3)^2} - \frac{y - 2}{y(y + 3)} : \frac{y^2 + 6}{y(y + 3)(y - 3)}$

   • Обратите внимание, что деление эквивалентно умножению на обратное число. Таким образом, выражение преобразуется в:

     $\frac{2y + 1}{(y + 3)^2} - \frac{y - 2}{y(y + 3)} \cdot \frac{y(y + 3)(y - 3)}{y^2 + 6}$

3. Упрощение и объединение дробей:

   • Теперь нам нужно привести дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель здесь — $y(y + 3)^2(y - 3)$.
   • Приведем дроби к общему знаменателю и выполним необходимые упрощения в числителе.

4. Финальное упрощение:

   • После всех преобразований и упрощений мы должны получить выражение, равное правой части исходного тождества $\frac{y - 3}{y + 3}$.

При упрощении данного выражения важно аккуратно работать с множителями и следить за знаками, чтобы избежать ошибок. В зависимости от уровня владения алгеброй, этот процесс может быть достаточно сложным и требовать внимательности и аккуратности.