докажите что при всех допустимых значениях переменной значение выражения  10:(25-b^4)+1:(5+b^2)-1:(5-b^2) положительно

Ваш вопрос касается доказательства того, что выражение $\frac{10}{25 - b^4} + \frac{1}{5 + b^2} - \frac{1}{5 - b^2}$ положительно при всех допустимых значениях переменной $b$. Давайте разберем это шаг за шагом.

1. Определение допустимых значений переменной $b$: Сначала нужно определить, при каких значениях $b$ выражение имеет смысл. Для этого нужно исключить значения $b$, при которых знаменатели дробей обращаются в ноль. Знаменатели - это $25 - b^4$, $5 + b^2$, и $5 - b^2$.

   • $25 - b^4 = 0$ при $b = \pm5$, так как $b^4 = 25$ равносильно $b^2 = \pm5$, а квадратный корень из положительного числа может быть как положительным, так и отрицательным.
   • $5 + b^2 = 0$ не имеет реальных корней, так как сумма положительного числа и квадрата переменной всегда положительна.
   • $5 - b^2 = 0$ при $b = \pm\sqrt{5}$, так как $b^2 = 5$.

   Таким образом, допустимые значения $b$ - это все действительные числа, кроме $\pm5$ и $\pm\sqrt{5}$.

2. Преобразование выражения: Для упрощения выражения приведем его к общему знаменателю. Общий знаменатель для $25 - b^4$, $5 + b^2$, и $5 - b^2$ будет $(25 - b^4)(5 + b^2)(5 - b^2)$. Преобразуем каждую дробь, умножив числитель и знаменатель на недостающие множители знаменателя:

   $$\frac{10}{25 - b^4} = \frac{10(5 + b^2)(5 - b^2)}{(25 - b^4)(5 + b^2)(5 - b^2)}$$
   $$\frac{1}{5 + b^2} = \frac{1(25 - b^4)(5 - b^2)}{(25 - b^4)(5 + b^2)(5 - b^2)}$$
   $$\frac{1}{5 - b^2} = \frac{1(25 - b^4)(5 + b^2)}{(25 - b^4)(5 + b^2)(5 - b^2)}$$

   Теперь мы можем сложить эти три дроби, имея общий знаменатель.

3. Анализ знака выражения: После сложения дробей мы получим выражение вида $\frac{A}{(25 - b^4)(5 + b^2)(5 - b^2)}$, где $A$ - некоторое выражение, полученное в результате сложения числителей.

   Знаменатель всегда положителен для всех допустимых значений $b$, так как $25 - b^4 > 0$ при $b \neq \pm5$, а произведение $(5 + b^2)(5 - b^2)$ также положительно (поскольку один из множителей всегда положителен, а другой - всегда отрицателен).

   Следовательно, знак выражения определяется знаком числителя $A$. Необходимо исследовать, является ли $A$ положительным, отрицательным или равным нулю. Это можно сделать, раскрыв скобки и упростив полученное выражение.

   Для полного доказательства нам нужно показать, что $A > 0$ для всех допустимых значений $b$. Это может потребовать дополнительного анализа, например, исследования на экстремумы или исследования знаков отдельных частей выражения $A$.

Таким образом, для окончательного доказательства необходимо выполнить детальное исследование выражения $A$

0 0 Пожаловаться