СРОЧНО!!! Петя задумал некоторое натуральное число n и выписал на доску все его натуральные делители, кроме 1 и n. Таких делителей оказалось больше одного. Более того, умный Петя заметил, что для любых двух различных чисел a и b, написанных на доске, число n делится на a − b. Какое число мог задумать Петя? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

Давайте разберемся с этой интересной задачей.

Дано: Петя задумал некоторое натуральное число $n$, и выписал все его натуральные делители, кроме 1 и $n$. При этом таких делителей больше одного. Также известно, что для любых двух различных чисел $a$ и $b$, написанных на доске, $n$ делится на $a - b$.

Чтобы найти все возможные варианты числа $n$, давайте воспользуемся следующими рассуждениями:

1. Делители числа $n$: Поскольку на доске больше одного делителя, $n$ не может быть простым числом. Поэтому $n$ должно быть составным числом.

2. Деление $n$ на $a - b$: Это ключевое условие. Поскольку $n$ делится на разность любых двух своих делителей, это значит, что разность любых двух делителей также является делителем $n$.

3. Специфика делителей: Если мы взглянем на множество делителей числа $n$, то заметим, что наименьший делитель (кроме 1) и наибольший делитель (кроме самого $n$) также имеют свойство, что их разность является делителем числа $n$.

4. Рассмотрим наименьший и наибольший делители: Пусть $d$ - наименьший делитель $n$ (кроме 1), а $m$ - наибольший делитель $n$ (кроме самого $n$). Тогда $n$ делится на $m - d$.

5. Свойства делителей: Учитывая, что $m$ и $d$ являются делителями $n$, и что $m - d$ тоже делитель, можно сделать вывод, что $n$ имеет делители, расположенные на равных расстояниях друг от друга.

6. Специфические числа: Таким образом, $n$ должно быть числом, у которого есть равномерно распределенные делители. Это свойство характерно для квадратов чисел.

Исходя из этих рассуждений, предполагаем, что $n$ должно быть квадратом простого числа. Это потому, что квадраты простых чисел имеют ровно три делителя: 1, само простое число и его квадрат. Например, для $2^2 = 4$, делители это 1, 2 и 4; для $3^2 = 9$, делители это 1, 3 и 9, и так далее.

Таким образом, возможные варианты для $n$ - это квадраты простых чисел. Однако, чтобы точно определить, какие из них подходят, нам необходимо проверить, соответствуют ли они всем условиям задачи.