Два землекопа, работая вместе, выкопали канаву за 12 часов. Если бы один из них выкопал полканавы, а затем другой – оставшуюся половину, то на всю работу им потребовалось бы 25 часов. за сколько часов может выкопать канаву каждый из землекопов работая отдельно

Решение этой задачи основывается на использовании системы уравнений, чтобы найти время, за которое каждый землекоп может выкопать канаву в одиночку.

Обозначим:

• $x$ — время, за которое первый землекоп может выкопать всю канаву в одиночку;
• $y$ — время, за которое второй землекоп может выкопать всю канаву в одиночку.

1. Первый шаг: совместная работа.

Когда два землекопа работают вместе, они за 1 час выкапывают часть канавы, равную сумме их производительностей:

• Первый за 1 час выкапывает $\frac{1}{x}$ части канавы;
• Второй за 1 час выкапывает $\frac{1}{y}$ части канавы.

Итак, за 1 час совместной работы они вместе выкапывают $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ части канавы. Из условия известно, что они выкапывают всю канаву за 12 часов, то есть за 12 часов они выкопают всю канаву:

Отсюда получаем первое уравнение:

2. Второй шаг: поочередная работа.

Теперь рассмотрим случай, когда первый землекоп выкапывает половину канавы, а второй — вторую половину. На это у них уходит в общей сложности 25 часов.

• Первый выкопает половину канавы за $\frac{x}{2}$ часов;
• Второй выкопает оставшуюся половину за $\frac{y}{2}$ часов.

Суммарное время на такую работу составляет 25 часов:

Умножим всё уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:

3. Решение системы уравнений.

Теперь у нас есть система уравнений:

1. $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$;
2. $x + y = 50$.

Для решения этой системы, выразим $y$ через $x$ из второго уравнения:

Подставим это в первое уравнение:

Приведём к общему знаменателю левую часть:

Сократим числитель:

Теперь умножим обе части уравнения на $12x(50 - x)$, чтобы избавиться от дробей:

Раскроем скобки:

Приведём уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

Решим это квадратное уравнение через дискриминант. Дискриминант $D$ равен:

Корни уравнения находятся по формуле:

Тогда получаем два корня:

4. Ответ.

Получаем, что один землекоп может выкопать канаву за 30 часов, а другой — за 20 часов.