Решите уравнение arccos (3x - x²+1) = 0

Решим уравнение:

1. Понимание значения арккосинуса:

   Мы знаем, что значение $\arccos(y)$ равно нулю, если $y = 1$, так как $\arccos(1) = 0$. Таким образом, условие для выполнения уравнения сводится к равенству под знаком арккосинуса единице:

   $$3x - x^2 + 1 = 1$$

2. Упрощение уравнения:

   Теперь упростим это выражение:

   $$3x - x^2 + 1 - 1 = 0$$

   Получаем:

   $$-x^2 + 3x = 0$$

3. Решение квадратного уравнения:

   Вынесем $x$ за скобки:

   $$x(-x + 3) = 0$$

   Это уравнение равняется нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

   $$x = 0 \quad \text{или} \quad -x + 3 = 0$$

   Отсюда имеем два решения:

   • $x = 0$
   • $-x + 3 = 0 \Rightarrow x = 3$

4. Проверка решений:

   Подставим каждое значение $x$ в исходное выражение под арккосинусом, чтобы убедиться, что оно принадлежит области определения функции $\arccos$, то есть $3x - x^2 + 1$ должно лежать в диапазоне $[-1, 1]$:

   • Для $x = 0$:

     $$3 \cdot 0 - 0^2 + 1 = 1$$

     Это значение допустимо, так как $1 \in [-1, 1]$.

   • Для $x = 3$:

     $$3 \cdot 3 - 3^2 + 1 = 9 - 9 + 1 = 1$$

     Это значение также допустимо, так как $1 \in [-1, 1]$.

5. Ответ:

   Таким образом, решениями уравнения являются:

   $$x = 0 \quad \text{и} \quad x = 3$$

Ответ: $x = 0$ и $x = 3$.