Вычислите 1) arcctg 1-arctg √3-arccos (-1/2); 2) arcsin(-1/2)+arctg (-1/√3)-arcctg √3; 3) arcsin -1- 3/2 arccos 1/2+3arcctg (-1/√3); 4) -4*arcsin (-√2/2) +8 arccos (-√2/2) -15*arctg √3/3

Для того чтобы решить каждый из заданных выражений, необходимо помнить, что арктангенс, арккотангенс, арккосинус и арксинус – это обратные тригонометрические функции, которые возвращают углы, соответствующие заданным значениям. Давайте поэтапно рассмотрим каждое выражение.

1. $\text{arcctg } 1 - \text{arctg } \sqrt{3} - \text{arccos} \left(-\frac{1}{2}\right)$

• arcctg 1: Поскольку котангенс угла $\frac{\pi}{4}$ равен 1, то $\text{arcctg } 1 = \frac{\pi}{4}$.
• arctg $\sqrt{3}$: Поскольку тангенс угла $\frac{\pi}{3}$ равен $\sqrt{3}$, то $\text{arctg } \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$.
• arccos $-\frac{1}{2}$: Поскольку косинус угла $\frac{2\pi}{3}$ равен $-\frac{1}{2}$, то $\text{arccos} \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$.

Подставляем значения в выражение:

Приведем к общему знаменателю (12):

Ответ: $-\frac{3\pi}{4}$.

2. $\text{arcsin} \left(-\frac{1}{2}\right) + \text{arctg} \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) - \text{arcctg} \sqrt{3}$

• arcsin $-\frac{1}{2}$: Поскольку синус угла $-\frac{\pi}{6}$ равен $-\frac{1}{2}$, то $\text{arcsin} \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$.
• arctg $-\frac{1}{\sqrt{3}}$: Поскольку тангенс угла $-\frac{\pi}{6}$ равен $-\frac{1}{\sqrt{3}}$, то $\text{arctg} \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6}$.
• arcctg $\sqrt{3}$: Поскольку котангенс угла $\frac{\pi}{6}$ равен $\sqrt{3}$