Вычислите arccos (-корень из 3/2) + arcctg (ctg 5pi/4) + arcsin (sin pi/4)

Чтобы решить выражение $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \operatorname{arcctg} \left(\operatorname{ctg} \frac{5\pi}{4}\right) + \arcsin\left(\sin \frac{\pi}{4}\right)$, нужно последовательно вычислить каждый элемент. Давайте разберем это пошагово.

1. Вычислим $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Значение $\arccos(x)$ — это угол $\theta$ в диапазоне от $0$ до $\pi$, для которого $\cos(\theta) = x$.

Рассмотрим $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Косинус угла равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ при $\theta = \frac{5\pi}{6}$. Таким образом:

2. Вычислим $\operatorname{arcctg} \left(\operatorname{ctg} \frac{5\pi}{4}\right)$

Здесь нам нужно найти арккотангенс котангенса угла $\frac{5\pi}{4}$. Так как $\operatorname{arcctg}$ и $\operatorname{ctg}$ — это обратные функции, результатом будет угол, приведенный к диапазону значений $\operatorname{arcctg}$, обычно от $0$ до $\pi$.

Угол $\frac{5\pi}{4}$ в радианах находится в третьей четверти, и значение $\operatorname{ctg} \frac{5\pi}{4}$ положительно, так как $\cot(x) > 0$ в третьей четверти. Чтобы привести результат в диапазон от $0$ до $\pi$, нам нужно найти эквивалентный угол, соответствующий значению $\frac{\pi}{4}$ (так как арккотангенс котангенса любого угла даст эквивалентный угол в пределах допустимого диапазона).

Таким образом,

3. Вычислим $\arcsin\left(\sin \frac{\pi}{4}\right)$

Для функции $\arcsin$, диапазон значений от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$. У нас $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, и поскольку $\frac{\pi}{4}$ уже находится в допустимом диапазоне $\arcsin$, то:

Итоговое вычисление

Теперь, когда мы нашли все составляющие выражения, можем подставить их и сложить: