Из 80 открыток на 40 изображены тюльпаны, на 20 — нарциссы, на 10 — сирень с тюльпанами, на 5 — сирень с нарциссами, на 5 — нарциссы с тюльпанами, на 10 — сирень с тюльпанами и нарциссами. Найдите число открыток с сиренью.

Решим задачу с помощью кругов Эйлера (диаграммы Венна). Будем считать, что числа даны для строгих комбинаций (т. е. «сирень с тюльпанами» означает открытки, где есть только сирень и тюльпаны, без нарциссов).

Обозначим множества:
\( T \) — открытки с тюльпанами, \( |T| = 40 \);
\( N \) — с нарциссами, \( |N| = 20 \);
\( S \) — с сиренью, \( |S| \) — нужно найти.

Даны пересечения (без третьего цветка):
\( |S \cap T \setminus N| = 10 \) (сирень с тюльпанами),
\( |S \cap N \setminus T| = 5 \) (сирень с нарциссами),
\( |N \cap T \setminus S| = 5 \) (нарциссы с тюльпанами),
\( |S \cap T \cap N| = 10 \) (все три цветка).

Найдём число открыток только с тюльпанами:
\[ |T \setminus (S \cup N)| = |T| - |S \cap T \setminus N| - |N \cap T \setminus S| - |S \cap T \cap N| = 40 - 10 - 5 - 10 = 15. \]

Число открыток только с нарциссами:
\[ |N \setminus (S \cup T)| = |N| - |S \cap N \setminus T| - |N \cap T \setminus S| - |S \cap T \cap N| = 20 - 5 - 5 - 10 = 0. \]

Теперь общее число открыток 80 складывается из всех непересекающихся частей:
\[ 80 = |T \setminus (S \cup N)| + |N \setminus (S \cup T)| + |S \setminus (T \cup N)| + |S \cap T \setminus N| + |S \cap N \setminus T| + |N \cap T \setminus S| + |S \cap T \cap N|. \]

Подставим известные значения:
\[ 80 = 15 + 0 + |S \setminus (T \cup N)| + 10 + 5 + 5 + 10. \]

\[ 80 = 45 + |S \setminus (T \cup N)| \Rightarrow |S \setminus (T \cup N)| = 35. \]

Итак, открыток только с сиренью — 35. Тогда всего открыток с сиренью:
\[ |S| = |S \setminus (T \cup N)| + |S \cap T \setminus N| + |S \cap N \setminus T| + |S \cap T \cap N| = 35 + 10 + 5 + 10 = 60. \]

Ответ: 60 открыток с сиренью.

0 0 Пожаловаться