Простые пожарные инструменты (ведро, лопата, железная дубинка и др.) во всех учреждениях вывешиваются на специальных досках. Ковши здесь конусообразные. На рис. 3.19 показан вид ведра с водой из озера. Согласно приведенной здесь информации, 1) определить площадь поперечного сечения заполненной водой части S как AD=AE=x. Здесь AB=AC=40 см, ∠BAS=45°; 2) изобразить график функции S=S(x) в прямоугольной системе координат; 3) Найдите область определения функции S=S(x) и сделайте вывод по графику.

Ведро имеет форму конуса. На рисунке изображено осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник \(ABC\) с вершиной \(A\). \(AB = AC = 40\) см — образующие. \(\angle BAS = 45^\circ\), где \(S\) — центр основания, \(AS\) — ось конуса. В прямоугольном треугольнике \(ABS\) угол между образующей \(AB\) и осью \(AS\) равен \(45^\circ\), значит, \(\angle BAC = 90^\circ\).

Вода заполняет часть конуса, её поверхность параллельна основанию. В сечении это отрезок \(DE\), причём \(AD = AE = x\) (по условию). Треугольник \(ADE\) подобен треугольнику \(ABC\) с коэффициентом \(k = \frac{x}{40}\).

Площадь треугольника \(ABC\): \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 40 = 800\) см².

Площадь поперечного сечения заполненной водой части (треугольника \(ADE\)): \(S(x) = k^2 \cdot S_{ABC} = \left(\frac{x}{40}\right)^2 \cdot 800 = \frac{x^2}{1600} \cdot 800 = \frac{x^2}{2}\).

Итак, \(S(x) = \frac{x^2}{2}\) (см²).

2) График функции \(S = \frac{x^2}{2}\) — парабола с вершиной в начале координат, ветви направлены вверх. Для \(x \ge 0\) это правая ветвь.

3) Область определения: \(x\) — расстояние от вершины конуса до уровня воды, оно может меняться от 0 (пустое ведро) до 40 см (полное ведро). Значит, \(x \in [0; 40]\). На этом отрезке функция возрастает, площадь сечения увеличивается от 0 до \(S(40) = 800\) см². График показывает, что с ростом \(x\) площадь растёт квадратично.

0 0 Пожаловаться