Sin(в кубе)x+Cos(в кубе)х = -1 Сколько у него решений на промежутке [0,6π]?

Ответы на вопрос

Отвечает Чёрный Никита.

Давай разберёмся с уравнением:

\sin^3 x + \cos^3 x = -1

на промежутке $[0, 6\pi]$ .

Шаг 1: Используем формулу суммы кубов

Сумма кубов раскладывается так:

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Применяем к $\sin^3 x + \cos^3 x$ :

\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)\big((\sin x)^2 - \sin x \cos x + (\cos x)^2\big)

Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ , получаем:

\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x)

Уравнение становится:

(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) = -1

Шаг 2: Анализируем ограничения

Заметим, что $\sin x + \cos x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$
и $\sin x \cos x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ .

Тогда:

1 - \sin x \cos x \in \left[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]

Следовательно, произведение $(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x)$ может принимать значения максимум $\sqrt{2} \cdot \frac{3}{2} \approx 2.12$ и минимум $-\sqrt{2} \cdot \frac{3}{2} \approx -2.12$ . Значение $-1$ входит в этот диапазон, так что решения существуют.

Шаг 3: Замена через t = sin x + cos x

Используем тождество:

\sin x \cos x = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x - (\sin x + \cos x)^2}{2} = \frac{1 - t^2}{2}, \quad t = \sin x + \cos x

Подставляем в уравнение:

t \left(1 - \frac{1 - t^2}{2} \right) = -1

t \left(\frac{2 - (1 - t^2)}{2} \right) = -1

t \left(\frac{1 + t^2}{2} \right) = -1

t (1 + t^2) = -2

t^3 + t + 2 = 0

Шаг 4: Находим корни кубического уравнения

Уравнение:

t^3 + t + 2 = 0

Пробуем простые рациональные корни $\pm 1, \pm 2$ :

$t = - 1 : (-$

Топ вопросов за вчера в категории Алгебра