Арксинус и решение уравнения $\sin t=a$

Арксинус (обозначается $\arcsin a$) — это обратная функция к синусу. Он позволяет по известному значению синуса найти угол.

Например, если:

то одним из решений является угол:

потому что:

Следовательно:

Однако уравнение $\sin t=a$ имеет не одно решение, так как синус — периодическая функция. Значение синуса повторяется через каждые $2\pi$.

Определение арксинуса

Функция $\arcsin x$ определена только при:

так как значения синуса лежат именно в этом промежутке.

Значение $\arcsin a$ — это такой угол из промежутка:

синус которого равен $a$:

Например:

Решение уравнения $\sin t=a$

Пусть:

Сначала находим главный корень:

Но кроме него существует ещё один угол в каждом периоде, потому что синус имеет одинаковые значения в симметричных точках:

Поэтому два семейства решений:

или

где:

Это и есть общее решение уравнения.

Также его можно записать в более компактном виде:

Обе записи задают один и тот же набор решений.

Особые случаи

1. Если:

то:

и решения:

2. Если:

то:

и:

3. Если:

то решений нет, так как синус не может принимать такие значения.

Таким образом, арксинус даёт основной угол решения, а все остальные решения уравнения $\sin t=a$ получаются благодаря периодичности синуса. Главное правило: