Как связаны между собой рациональные числа и бесконечные периодические десятичные дроби?

Рациональные числа и бесконечные периодические десятичные дроби связаны напрямую: любое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, и наоборот — любая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом.

Рациональным числом называется число, которое можно записать в виде дроби:

где $a$ — целое число, а $b$ — натуральное число, не равное нулю.

Если разделить числитель на знаменатель, получится десятичная запись числа. При таком делении возможны два случая:

1. Деление заканчивается, и получается конечная десятичная дробь. Например:

Такие числа являются рациональными.

2. Деление никогда не заканчивается, но остатки начинают повторяться. Тогда цифры после запятой образуют период. Например:

Здесь цифра 3 повторяется бесконечно, поэтому запись можно обозначить как $0,(3)$.

Другой пример:

Периодом является последовательность 285714.

Почему возникает период? При делении дроби остаток всегда меньше делителя. Например, если делить одно число на другое, возможное количество остатков ограничено. Рано или поздно один из остатков повторится, а после этого начнется повторение тех же цифр.

Обратное тоже верно. Если есть бесконечная периодическая дробь, ее всегда можно превратить в обычную дробь. Например:

Пусть:

Умножим на 10:

Вычтем первое выражение из второго:

Получается рациональное число.

Таким образом, множество рациональных чисел включает в себя все целые числа, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби. А бесконечные непериодические десятичные дроби, например число π или √2, уже относятся к иррациональным числам, потому что их цифры после запятой никогда не повторяются по одному и тому же правилу.