1. дана функция y=x^2+2x
- исследуйте функцию на монотонность, если x>=-1
- найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-2; 0,4]

2. исследуйте функцию y= 2x/x+1, где x<-1, на ограниченность

3. исследуйте функцию y=3x^3-/x/ на чётность
/ / - МОДУЛЬ

Рассмотрим каждый из вопросов по очереди.

1. Исследование функции на монотонность и нахождение наибольшего и наименьшего значения на отрезке

Функция дана: $y = x^2 + 2x$.

1. Найдем производную функции для исследования монотонности. Производная этой функции:

   $$y' = 2x + 2$$

2. Исследуем знак производной. Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции, приравняем производную к нулю:

   $$2x + 2 = 0$$

   Отсюда $x = -1$.

   Теперь рассмотрим поведение производной на интервалах $x \geq -1$:

   • При $x > -1$, производная $y' = 2x + 2 > 0$, следовательно, на интервале $x \geq -1$ функция возрастает.

   Таким образом, функция $y = x^2 + 2x$ возрастает на отрезке $x \geq -1$.

3. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке $[-2; 0.4]$:

   • Подставим граничные точки отрезка $x = -2$ и $x = 0.4$, а также точку экстремума $x = -1$ (на границе области возрастания функции), чтобы найти значения функции:

     • При $x = -2$:

       $$y(-2) = (-2)^2 + 2 \cdot (-2) = 4 - 4 = 0$$

     • При $x = -1$:

       $$y(-1) = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) = 1 - 2 = -1$$

     • При $x = 0.4$:

       $$y(0.4) = (0.4)^2 + 2 \cdot 0.4 = 0.16 + 0.8 = 0.96$$

   Итак, на отрезке $[-2; 0.4]$:

   • Наименьшее значение функции равно $-1$ и достигается при $x = -1$.
   • Наибольшее значение функции равно $0.96$ и достигается при $x = 0.4$.

2. Исследование функции на ограниченность: $y = \frac{2x}{x + 1}$, где $x < -1$

Исследуем поведение функции $y = \frac{2x}{x + 1}$ на интервале $x < -1$.

1. Определим поведение функции при приближении к $x = -1$:

   • При $x \to -1^-$ знаменатель $x + 1 \to 0^-$, и функция $y = \frac{2x}{x + 1}$ стремится к $-\infty$.

2. Проверим поведение функции при больших отрицательных значениях $x$:

   • При $x \to -\infty$ знаменатель $x + 1 \approx x$, и функция принимает вид $y \approx \frac{2x}{x} = 2$.
   • Таким образом, при $x \to -\infty$ функция стремится к значению $y = 2$.

   Следовательно, на интервале $x < -1$ функция неограничена снизу, так как при $x \to -1$ она стремится к $-\infty$.

3. Вывод: Функция $y = \frac{2x}{x + 1}$ неограничена снизу на интервале $x < -1$, но ограничена сверху значением $y = 2$.

3. Исследование функции на четность: $y = 3x^3 - |x|$

Проверим функцию $y = 3x^3 - |x|$ на четность.

1. Определение четности и нечетности:

   • Функция считается четной, если $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения.
   • Функция считается нечетной, если $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения.

2. Найдем $f(-x)$:

   $$f(-x) = 3(-x)^3 - |-x| = -3x^3 - |x|$$

3. Сравним $f(x)$