35 баллов A, B, C, D – вершины прямоугольника.

а) Постройте точки A(-1;1); B(5;1); C(5;-3)
б) Постройте точку D и найдите её координаты
в) Постройте K-точку пересечения отрезков AC и BD и найдите её координаты.​

Для решения данной задачи мы последовательно выполним все этапы, указанные в вопросе.

а) Построение точек A, B, C

Точки A, B и C даны в координатной плоскости:

• Точка A имеет координаты (-1, 1).
• Точка B имеет координаты (5, 1).
• Точка C имеет координаты (5, -3).

Для построения этих точек на графике:

1. Точка A: на оси X отложим -1, а на оси Y отложим 1. Получаем точку A(-1, 1).
2. Точка B: на оси X отложим 5, а на оси Y отложим 1. Получаем точку B(5, 1).
3. Точка C: на оси X отложим 5, а на оси Y отложим -3. Получаем точку C(5, -3).

На этом этапе у нас есть три точки: A, B и C, которые можно изобразить на графике.

б) Построение точки D и нахождение её координат

Чтобы найти координаты точки D, используем свойства прямоугольника. Вершины прямоугольника ABCD располагаются так, что стороны AB и CD параллельны, а AC и BD тоже параллельны.

Мы знаем, что:

• AB – горизонтальная сторона с координатами по Y, равными 1.
• BC – вертикальная сторона с координатами по X, равными 5.

Для определения координат точки D мы знаем, что она должна находиться на одной горизонтальной линии с точкой C, и на одной вертикальной линии с точкой A.

Таким образом, координаты точки D будут:

• X-координата D равна X-координате A, то есть -1.
• Y-координата D равна Y-координате C, то есть -3.

Таким образом, точка D имеет координаты D(-1, -3).

в) Построение K - точки пересечения отрезков AC и BD и нахождение её координат

Теперь найдем точку K, которая является точкой пересечения отрезков AC и BD.

1. Уравнение отрезка AC:

   • Точки A(-1, 1) и C(5, -3).
   • Уклон (k) отрезка AC можно найти по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-3 - 1}{5 - (-1)} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$
   • Уравнение прямой в виде y = kx + b. Для нахождения b используем точку A: $1 = -\frac{2}{3}(-1) + b$ $b = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
   • Таким образом, уравнение отрезка AC: $y = -\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}$

2. Уравнение отрезка BD:

   • Точки B(5, 1) и D(-1, -3).
   • Уклон (k) отрезка BD: $k = \frac{-3 - 1}{-1 - 5} = \frac{-4}{-6} = \frac{2}{3}$
   • Уравнение прямой, используя точку B: $1 = \frac{2}{3}(5) + b$ $b = 1 - \frac{10}{3} = -\frac{7}{3}$
   • Уравнение отрезка BD: $y = \frac{2}{3}x - \frac{7}{3}$

Теперь мы имеем два уравнения:

1. $y = -\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}$
2. $y = \frac{2}{3}x - \frac{7}{3}$

Для нахождения точки K приравняем эти два уравнения:

Умножим уравнение на 3 для устранения дробей:

Теперь решим уравнение:

Теперь подставим x = 2 в любое из уравнений, например, в первое:

Таким образом, координаты точки K, которая является точкой пересечения отрезков AC и BD, равны K(2, -1).

Итог

• Точки A, B, C и D имеют координаты:
  • A(-1, 1)
  • B(5, 1)
  • C(5, -3)
  • D(-1, -3)
• Точка K, являющаяся точкой пересечения отрезков AC и BD, имеет координаты K(2, -1).