Найдите tg²a если 3sin²a+8cos²a=7

Для того чтобы найти $tg^2 a$, давайте пошагово решим задачу, исходя из условия $3 \sin^2 a + 8 \cos^2 a = 7$.

1. Используем основное тригонометрическое тождество: Напоминаю, что для любого угла ( a \ выполнено следующее тождество:

   $$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

   Это ключевая формула, которая поможет нам преобразовывать выражения с синусом и косинусом.

2. Представим косинус через синус: Из основного тождества можно выразить $\cos^2 a$ через $\sin^2 a$:

   $$\cos^2 a = 1 - \sin^2 a$$

   Подставим это в исходное уравнение $3 \sin^2 a + 8 \cos^2 a = 7$:

   $$3 \sin^2 a + 8 (1 - \sin^2 a) = 7$$

3. Раскроем скобки и упростим:

   $$3 \sin^2 a + 8 - 8 \sin^2 a = 7$$ $$(3 - 8) \sin^2 a + 8 = 7$$ $$-5 \sin^2 a + 8 = 7$$

4. Изолируем $\sin^2 a$: Вычтем 8 из обеих частей уравнения:

   $$-5 \sin^2 a = -1$$

   Разделим обе части на -5:

   $$\sin^2 a = \frac{1}{5}$$

5. Найдем $\cos^2 a$: Используем основное тождество:

   $$\cos^2 a = 1 - \sin^2 a = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$$

6. Найдем $tg^2 a$: Напоминаем, что $tg^2 a = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}$. Подставим найденные значения $\sin^2 a$ и $\cos^2 a$:

   $$tg^2 a = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{1}{4}$$

Ответ: $tg^2 a = \frac{1}{4}$.