Приведите пример трехзначного натурального числа, большего 500, которое при делении на 8 и на 5 дает равные ненулевые остатки и первая слева цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите ровно одно такое число.

Рассмотрим задачу пошагово:

1. Требования к числу:
   • Трехзначное натуральное число больше 500.
   • Остатки при делении на 8 и на 5 равны и ненулевые.
   • Первая слева цифра числа является средним арифметическим двух других цифр.

2. Разберем первое условие: остатки при делении на 8 и на 5 равны и ненулевые.

   • При делении числа на 8 и 5 возможные остатки: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
   • Остаток при делении на 8 должен совпадать с остатком при делении на 5.

   Остатки, которые одновременно допустимы для 8 и 5:
   $r = 1, 3, 5, 7$ (так как эти значения меньше 8 и также подходят для деления на 5).

3. Переберем числа, удовлетворяющие этим условиям. Если число делится на 8 с остатком $r$, то его вид можно записать как: $$N = 8k + r$$ Аналогично, при делении на 5: $$N = 5m + r$$ Чтобы числа соответствовали, $N$ должно быть больше 500, и $r$ — одинаковый.

4. Добавим третье условие: первая цифра является средним арифметическим двух других. Пусть число $N$ имеет вид $abc$ (где $a, b, c$ — цифры). Тогда: $$a = \frac{b + c}{2}$$ Это означает, что $b + c$ должно быть четным.

5. Рассмотрим пример. Пусть остаток $r = 3$ (подходит для 8 и 5).
   Тогда число $N$ можно записать как: $$N = 8k + 3$$ и одновременно $N = 5m + 3$.
   Решим уравнение для $N > 500$.
   Минимальное $N$, удовлетворяющее обоим условиям, — $N = 603$.

6. Проверка числа 603:
   • Деление на 8: $603 \div 8 = 75$ (остаток 3).
   • Деление на 5: $603 \div 5 = 120$ (остаток 3).
   • Первая цифра $a = 6$, среднее арифметическое других цифр: $$b + c = 0 + 3 = 3, \quad \frac{b + c}{2} = \frac{3}{2} = 6.$$ Условие выполняется.

Ответ: $\mathbf{603}$.