Если от задуманного трёхзначного числа отнять 9, то получившееся число разделится на 9. Если из задуманного числа отнять 10, то результат разделится на 10. Если из числа отнять 11, то результат разделится на 11. Какое число было задумано?

Рассмотрим задачу подробно и найдем задуманное трёхзначное число.

Обозначим задуманное число как $N$. Согласно условиям, это число должно удовлетворять следующим трём условиям:

1. Если из $N$ вычесть 9, то результат делится на 9:

   $$(N - 9) \mod 9 = 0$$

   Это означает, что $N \mod 9 = 9$, то есть $N$ делится на 9.

2. Если из $N$ вычесть 10, то результат делится на 10:

   $$(N - 10) \mod 10 = 0$$

   Это означает, что $N \mod 10 = 10$, или проще $N \equiv 0 \mod 10$. Значит, $N$ оканчивается на 0.

3. Если из $N$ вычесть 11, то результат делится на 11:

   $$(N - 11) \mod 11 = 0$$

   Это означает, что $N \mod 11 = 11$, то есть $N \equiv 0 \mod 11$. Значит, $N$ делится на 11.

Теперь $N$ должно быть кратным 9, 10 и 11 одновременно. Для этого нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел.

Найдём НОК(9, 10, 11):

• $9 = 3^2$
• $10 = 2 \cdot 5$
• $11$ — простое число.

НОК вычисляется как произведение всех уникальных простых множителей в их максимальных степенях:

Проверим:

1. $990 - 9 = 981$, и $981 \mod 9 = 0$.
2. $990 - 10 = 980$, и $980 \mod 10 = 0$.
3. $990 - 11 = 979$, и $979 \mod 11 = 0$.

Все условия выполнены, значит, задуманное число $N = 990$.