В поезде 18 одинаковых вагонов. В некоторых вагонах свободна ровно половина мест, в некоторых других—ровно треть мест, а в остальных заняты все места. При этом во всём поезде свободна ровно одна девятая всех мест. Во скольких вагонах все места заняты???

Давайте разберем эту задачу шаг за шагом.

1. Определение общего числа мест в поезде: Поскольку не указано количество мест в каждом вагоне, нам придется работать с переменными. Пусть в каждом вагоне есть $x$ мест. Тогда во всем поезде, состоящем из 18 вагонов, будет $18x$ мест.

2. Определение числа свободных мест в поезде: Известно, что свободна ровно одна девятая всех мест, что составляет $\frac{1}{9} \times 18x = 2x$. Это количество свободных мест во всем поезде.

3. Разделение вагонов на группы: Вагоны делятся на три группы:

   • Группа A: Вагоны, в которых заняты все места.
   • Группа B: Вагоны, в которых свободна половина мест (значит, занята тоже половина).
   • Группа C: Вагоны, в которых свободна треть мест (значит, заняты две трети).

4. Выражение количества свободных мест через группы вагонов: Пусть в группе B есть $b$ вагонов, а в группе C - $c$ вагонов. Тогда:

   • В вагонах группы B свободно $\frac{1}{2}x$ мест на вагон, всего $\frac{1}{2}bx$ мест.
   • В вагонах группы C свободно $\frac{1}{3}x$ мест на вагон, всего $\frac{1}{3}cx$ мест.

   Общее количество свободных мест равно сумме свободных мест в группах B и C: $\frac{1}{2}bx + \frac{1}{3}cx = 2x$.

5. Уравнение и решение: Поскольку общее количество вагонов равно 18, то $b + c + \text{вагоны группы A} = 18$. Подставим $b$ и $c$ в уравнение свободных мест:

   $\frac{1}{2}bx + \frac{1}{3}cx = 2x$

   Упрощаем уравнение:

   $\frac{1}{2}b + \frac{1}{3}c = 2$

   Умножим все члены уравнения на 6, чтобы избавиться от дробей:

   $3b + 2c = 12$

   Теперь у нас есть система уравнений:

   $b + c + \text{вагоны группы A} = 18$

   $3b + 2c = 12$

   Нам нужно найти количество вагонов в группе A. Для этого нам сначала нужно найти значения $b$ и $c$. Однако, в условиях этой задачи, у нас недостаточно информации, чтобы точно определить $b$ и $c$, но мы можем определить количество вагонов группы A, используя логические рассуждения.

   Поскольку $3b + 2c = 12$, мы видим, что $b$ и $c$ должны быть небольшими целыми числами (так как они представляют количество вагонов). Проверяя различные комбинации $b$ и $c$, которые удовлетворяют этому уравнению, мы можем найти подходящее решение.

   Однако, есть более простой способ: поскольку общее количество свободных мест равно $2x$ (то есть двум вагонам полностью), и учитывая, что в вагонах группы B свободна половина мест, а в группе C - треть, легко догадаться, что в группе B должно быть 2 вагона (поскольку две половины составят один полностью свободный вагон), а в группе C - 3 вагона (три трети составят один полностью свободный вагон).

   Таким образом, $b = 2$ и $c = 3$, а вагонов группы A, где все места заняты, будет $18 - 2 - 3 = 13$.

Ответ: В 13 вагонах все места заняты.