Пользуясь формулой Муавра и биномом Ньютона, выразите через степени sin φ и cos φ следующие функции кратных углов:
1) sin 4φ;
2) cos 5φ.

Пусть \( \cos \varphi = c \), \( \sin \varphi = s \). По формуле Муавра:

\[ (\cos \varphi + i\sin \varphi)^n = \cos n\varphi + i\sin n\varphi \]

1) Найдём \( \sin 4\varphi \):

\[ (c+is)^4=c^4+4ic^3s-6c^2s^2-4ics^3+s^4 \]

Мнимая часть даёт:

\[ \sin 4\varphi = 4c^3s-4cs^3 \]

Значит,

\[ \sin 4\varphi = 4\sin\varphi\cos^3\varphi - 4\sin^3\varphi\cos\varphi \]

2) Найдём \( \cos 5\varphi \):

\[ (c+is)^5=c^5+5ic^4s-10c^3s^2-10ic^2s^3+5cs^4+is^5 \]

Действительная часть даёт:

\[ \cos 5\varphi = c^5-10c^3s^2+5cs^4 \]

Значит,

\[ \cos 5\varphi = \cos^5\varphi - 10\cos^3\varphi\sin^2\varphi + 5\cos\varphi\sin^4\varphi \]

0 0 Пожаловаться