Решите неравенство log6(21-7x) больше или равно log6(x^2-8x+15) + log6(x+3)

Решим неравенство:

Шаг 1. Применим свойства логарифмов

Используем свойство логарифмов: сумма логарифмов равна логарифму произведения. То есть:

Теперь неравенство можно переписать в виде:

Шаг 2. Уберем логарифмы

Так как логарифмическая функция монотонна (то есть сохраняет знак неравенства при одинаковых основаниях), мы можем убрать логарифмы, получив:

Шаг 3. Раскроем скобки и упростим выражение

Раскроем скобки справа:

Теперь неравенство примет вид:

Перенесем все выражения в левую часть, чтобы получить неравенство вида $f(x) \geq 0$:

или, эквивалентно:

Шаг 4. Найдем область допустимых значений (ОДЗ)

Чтобы логарифмы существовали, их аргументы должны быть положительными. Проверим каждое из условий:

1. $21 - 7x > 0 \Rightarrow x < 3$
2. $x^2 - 8x + 15 > 0$
3. $x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$

Решим квадратное неравенство $x^2 - 8x + 15 > 0$:

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$:

Получаем корни $x_1 = 5$ и $x_2 = 3$. Знаки квадратного трехчлена $x^2 - 8x + 15$ чередуются, и он положителен на интервалах $(-\infty, 3) \cup (5, +\infty)$.

Таким образом, с учетом всех условий, область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ — это промежуток:

Шаг 5. Проверка решения в пределах ОДЗ

Теперь исследуем знак выражения $x^3 - 5x^2 - 2x + 24 \leq 0$ на интервале $(-3, 3)$.

Путем подбора и анализа можно найти приближенные значения $x$, удовлетворяющие неравенству на данном интервале.