Решите неравенство -x²+3x+4 больше нуля с подробным объяснением пожалуйста

Чтобы решить неравенство $-x^2 + 3x + 4 > 0$, давайте следовать поэтапно.

Шаг 1: Преобразование неравенства

Первым делом, чтобы упростить задачу, мы можем переместить все члены на одну сторону, чтобы сделать неравенство более удобным для анализа:

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Теперь мы можем решить квадратное уравнение $-x^2 + 3x + 4 = 0$. Для этого используем формулу корней квадратного уравнения:

Где:

• $a = -1$
• $b = 3$
• $c = 4$

Сначала находим дискриминант $D$:

Теперь подставим дискриминант в формулу:

Рассмотрим два случая:

1. $x_1 = \frac{-3 + 5}{-2} = \frac{2}{-2} = -1$
2. $x_2 = \frac{-3 - 5}{-2} = \frac{-8}{-2} = 4$

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.

Шаг 3: Определение промежутков

Теперь мы знаем, что уравнение $-x^2 + 3x + 4 = 0$ имеет два корня: $-1$ и $4$. Эти корни делят числовую прямую на три интервала:

1. $(-\infty, -1)$
2. $(-1, 4)$
3. $(4, +\infty)$

Шаг 4: Анализ знаков на интервалах

Теперь необходимо определить знак функции на каждом из этих интервалов. Мы можем выбрать тестовые точки из каждого интервала и подставить их в исходное неравенство $-x^2 + 3x + 4$:

1. Интервал $(-\infty, -1)$: возьмем точку $x = -2$

   $$-(-2)^2 + 3(-2) + 4 = -4 - 6 + 4 = -6 \quad (\text{меньше 0})$$

2. Интервал $(-1, 4)$: возьмем точку $x = 0$

   $$-(0)^2 + 3(0) + 4 = 4 \quad (\text{больше 0})$$

3. Интервал $(4, +\infty)$: возьмем точку $x = 5$

   $$-(5)^2 + 3(5) + 4 = -25 + 15 + 4 = -6 \quad (\text{меньше 0})$$

Шаг 5: Составление окончательного ответа

Теперь мы можем сделать вывод о знаках функции на интервалах:

• На интервале $(-\infty, -1)$ функция отрицательна.
• На интервале $(-1, 4)$ функция положительна.
• На интервале $(4, +\infty)$ функция отрицательна.

Поскольку нас интересует неравенство $-x^2 + 3x + 4 > 0$, решение будет в интервале, где функция положительна:

Таким образом, ответ на неравенство $-x^2 + 3x + 4 > 0$ будет: