Решите неравенство: (2х^2-6х)/х-4 меньше или равно х

Решим неравенство:

1. Приведём неравенство к общему знаменателю.

Перенесём $x$ влево и приведём выражение к общему знаменателю:

Преобразуем:

Раскроем скобки в числителе:

Упростим числитель:

2. Разложим числитель на множители.

В числителе $x^2 - 2x$ вынесем $x$ за скобки:

3. Найдём критические точки.

Критические точки находятся там, где числитель и знаменатель равны нулю:

• $x = 0$ (числитель равен нулю),
• $x = 2$ (числитель равен нулю),
• $x = 4$ (знаменатель равен нулю).

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, значит $x \neq 4$.

4. Разобьём числовую ось на интервалы.

Критические точки делят ось на интервалы: $(- \infty, 0)$, $(0, 2)$, $(2, 4)$, $(4, +\infty)$.

На каждом из интервалов знак дроби определяется поведением множителей $x$, $x - 2$, $x - 4$.

5. Определим знак на каждом интервале.

Запишем множители и их знаки на интервалах:

6. Выберем подходящие интервалы.

Нам нужно, чтобы дробь была $\leq 0$, то есть $-$ или $0$. Это выполняется на интервалах:

• $(- \infty, 0)$,
• $(2, 4)$.

Включим точки, где дробь равна $0$ (числитель равен $0$): $x = 0$ и $x = 2$.

Исключим точку $x = 4$ (она не входит в ОДЗ).

7. Запишем ответ.

Ответ: