Доказать тождество:
\frac { \sin ( \pi - \alpha ) \sin ( \alpha + 2 \pi ) } { \tan ( \pi + \alpha ) \cos ( \frac { \pi } { 2 } + \alpha ) } = - \cos \alpha

Докажем тождество:

\[ \frac{\sin(\pi - \alpha)\sin(\alpha + 2\pi)}{\tan(\pi + \alpha)\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)} = -\cos\alpha \]

Используем формулы приведения:

• \( \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha \)
• \( \sin(\alpha + 2\pi) = \sin\alpha \)
• \( \tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha \)
• \( \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha \)

Подставим:

\[ \frac{\sin\alpha \cdot \sin\alpha}{\tan\alpha \cdot (-\sin\alpha)} \]

Так как \( \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \), получаем:

\[ \frac{\sin^2\alpha}{-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot \sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{-\frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}} = -\cos\alpha \]

Левая часть равна правой, значит тождество доказано.

0 0 Пожаловаться