sin^4 альфа-cos^4 альфа=sin^2 альфа-cos^2 альфа -доказать тождества

Чтобы доказать тождество $\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha$, нужно воспользоваться алгебраическими преобразованиями и тригонометрическими свойствами.

Решение:

1. Заметим разность квадратов: Выражение $\sin^4\alpha - \cos^4\alpha$ представляет собой разность квадратов:

   $$\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha)^2 - (\cos^2\alpha)^2.$$

   Применим формулу разности квадратов:

   $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b),$$

   где $a = \sin^2\alpha$, $b = \cos^2\alpha$.

   Тогда:

   $$\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha).$$

2. Упростим выражение $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha$: Согласно основному тригонометрическому тождеству:

   $$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1.$$

   Подставляем это в выражение:

   $$\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha) \cdot 1.$$

3. Итоговое выражение: После упрощения остаётся:

   $$\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha.$$

Вывод:

Тождество $\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha$ доказано.